Упр.27.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) они обе пустые;
б) они обе не пустые;
в) одна из них пустая, а другая нет;
г) одна из них пустая, а другая — с сюрпризом;
д) они обе с призом;
е) в них нет сюрприза. Распределите уравнения на пары равносильных друг другу. Укажите уравнение, которое оказалось без пары:
а) x^2+4x-45=0; 3^x=243; |x+2|=7; log_3(x)=2; v(x+11)=4;
б) (x^2-7x+12)/(x-4)=0; 5^x=625; |x-3,5|=0,5; log_16(x)=0,5; v(x^2+12)=v(7x);
в) 3x^2-13x-16=0; 2^(0,5x-1)=128; |3x+1|=0; log_2(x)=4; v(6x+11)=3;
г) (x^2-7x+10)/(x-2)=0; 6^x=36; |x-3,5|=1,5; log_0,2(x)=-1; v(x^2+10)=v(7x).

1. Обозначим: $$a$$ — число пустых коробок, $$b$$ — число коробок с призом, $$c$$ — число коробок с сюрпризом. Тогда всего коробок $$a+b+c$$.

   Число способов выбрать 2 коробки из $$n$$ равно $$C_n^2$$.

   а) обе пустые:
   $$P=\frac{C_a^2}{C_{a+b+c}^2}$$

   б) обе не пустые:
   $$P=\frac{C_{b+c}^2}{C_{a+b+c}^2}$$

   в) одна пустая, другая не пустая:
   $$P=\frac{a(b+c)}{C_{a+b+c}^2}$$

   г) одна пустая, другая с сюрпризом:
   $$P=\frac{ac}{C_{a+b+c}^2}$$

   д) обе с призом:
   $$P=\frac{C_b^2}{C_{a+b+c}^2}$$

   е) в них нет сюрприза:
   $$P=\frac{C_{a+b}^2}{C_{a+b+c}^2}$$

2. Распределим уравнения по парам равносильных.

   а)

   $$x^2+4x-45=0$$
   $$D=4^2+4\cdot 45=196,$$
   $$x_1=\frac{-4-14}{2}=-9,\quad x_2=\frac{-4+14}{2}=5.$$

   $$3^x=243=3^5 \Rightarrow x=5.$$

   $$|x+2|=7 \Rightarrow x+2=7 \text{ или } x+2=-7,$$
   $$x=5 \text{ или } x=-9.$$

   $$\log_3 x=2 \Rightarrow x=3^2=9.$$

   $$\sqrt{x+11}=4 \Rightarrow x+11=16 \Rightarrow x=5.$$

   Значит, равносильны:
   $$x^2+4x-45=0 \quad \text{и} \quad |x+2|=7;$$
   $$3^x=243 \quad \text{и} \quad \sqrt{x+11}=4;$$
   $$\log_3 x=2$$
   — без пары.

   б)

   $$\frac{x^2-7x+12}{x-4}=0 \Rightarrow x^2-7x+12=0,\ x\ne 4.$$
   $$x^2-7x+12=(x-3)(x-4),$$
   поэтому $$x=3.$$

   $$5^x=625=5^4 \Rightarrow x=4.$$

   $$|x-3{,}5|=0{,}5 \Rightarrow x=3 \text{ или } x=4.$$

   $$\log_{16}x=0{,}5 \Rightarrow x=16^{0{,}5}=4.$$

   $$\sqrt{x^2+12}=\sqrt{7x} \Rightarrow x^2+12=7x \Rightarrow x^2-7x+12=0,$$
   $$x=3 \text{ или } x=4.$$

   Значит, равносильны:
   $$5^x=625 \quad \text{и} \quad \log_{16}x=0{,}5;$$
   $$|x-3{,}5|=0{,}5 \quad \text{и} \quad \sqrt{x^2+12}=\sqrt{7x};$$
   $$\frac{x^2-7x+12}{x-4}=0$$
   — без пары.

   в)

   $$3x^2-13x-16=0$$
   $$D=13^2+4\cdot 3\cdot 16=361,$$
   $$x_1=\frac{13-19}{6}=-1,\quad x_2=\frac{13+19}{6}=\frac{16}{3}.$$

   $$2^{0{,}5x-1}=128=2^7 \Rightarrow 0{,}5x-1=7 \Rightarrow x=16.$$

   $$|3x+1|=0 \Rightarrow 3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac13.$$

   $$\log_2 x=4 \Rightarrow x=16.$$

   $$\sqrt{6x+11}=3 \Rightarrow 6x+11=9 \Rightarrow x=-\frac13.$$

   Значит, равносильны:
   $$2^{0{,}5x-1}=128 \quad \text{и} \quad \log_2 x=4;$$
   $$|3x+1|=0 \quad \text{и} \quad \sqrt{6x+11}=3;$$
   $$3x^2-13x-16=0$$
   — без пары.

   г)

   $$\frac{x^2-7x+10}{x-2}=0 \Rightarrow x^2-7x+10=0,\ x\ne 2.$$
   $$x^2-7x+10=(x-2)(x-5),$$
   поэтому $$x=5.$$

   $$6^x=36=6^2 \Rightarrow x=2.$$

   $$|x-3{,}5|=1{,}5 \Rightarrow x=2 \text{ или } x=5.$$

   $$\log_{0{,}2}x=-1 \Rightarrow x=0{,}2^{-1}=5.$$

   $$\sqrt{x^2+10}=\sqrt{7x} \Rightarrow x^2+10=7x \Rightarrow x^2-7x+10=0,$$
   $$x=2 \text{ или } x=5.$$

   Значит, равносильны:
   $$\frac{x^2-7x+10}{x-2}=0 \quad \text{и} \quad \log_{0{,}2}x=-1;$$
   $$|x-3{,}5|=1{,}5 \quad \text{и} \quad \sqrt{x^2+10}=\sqrt{7x};$$
   $$6^x=36$$
   — без пары.

Ответ

а) $$\frac{C_a^2}{C_{a+b+c}^2},\ \frac{C_{b+c}^2}{C_{a+b+c}^2},\ \frac{a(b+c)}{C_{a+b+c}^2},\ \frac{ac}{C_{a+b+c}^2},\ \frac{C_b^2}{C_{a+b+c}^2},\ \frac{C_{a+b}^2}{C_{a+b+c}^2}.$$

б) $$x^2+4x-45=0$$ и $$|x+2|=7$$; $$3^x=243$$ и $$\sqrt{x+11}=4$$; без пары — $$\log_3 x=2$$.

в) $$2^{0{,}5x-1}=128$$ и $$\log_2 x=4$$; $$|3x+1|=0$$ и $$\sqrt{6x+11}=3$$; без пары — $$3x^2-13x-16=0$$.

г) $$\frac{x^2-7x+10}{x-2}=0$$ и $$\log_{0{,}2}x=-1$$; $$|x-3{,}5|=1{,}5$$ и $$\sqrt{x^2+10}=\sqrt{7x}$$; без пары — $$6^x=36$$.