Упр.27.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) Постройте график функции $$y=x^4-4x^3+4x^2$$. б) Найдите значения $$a$$, при которых уравнение $$x^4-4x^3+4x^2=a$$ имеет ровно три корня.

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$y=x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-2)^2.$$

Так как $$x^2\ge 0$$ и $$(x-2)^2\ge 0,$$ то $$y\ge 0$$ при всех $$x.$$

Найдём точки, в которых функция обращается в нуль:

$$x^2(x-2)^2=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=2.$$

Следовательно, график касается оси $$Ox$$ в точках $$(0,0)$$ и $$(2,0).$$

Для построения найдём производную:

$$y'(x)=4x^3-12x^2+8x=4x(x^2-3x+2)=4x(x-1)(x-2).$$

Критические точки: $$x=0,\;1,\;2.$$

Знаки производной:

при $$x<0$$ имеем $$y'<0,$$
при $$0<x<1$$ имеем $$y’>0,$$
при $$1<x<2$$ имеем $$y'<0,$$
при $$x>2$$ имеем $$y’>0.$$

Значит, функция убывает на $$(-\infty,0]$$ и $$[1,2],$$ возрастает на $$[0,1]$$ и $$[2,+\infty).$$

Найдём значения функции в критических точках:

$$y(0)=0,\quad y(1)=1,\quad y(2)=0.$$

Итак, график проходит через точки $$(0,0),\ (1,1),\ (2,0)$$ и имеет два минимума в точках $$x=0$$ и $$x=2,$$ а максимум между ними в точке $$x=1.$$

Теперь рассмотрим уравнение

$$x^4-4x^3+4x^2=a.$$

Это то же самое, что

$$x^2(x-2)^2=a.$$

Левая часть неотрицательна и принимает значение $$0$$ в точках $$x=0$$ и $$x=2,$$ а на промежутке между ними имеет наибольшее значение $$1$$ при $$x=1.$$

Чтобы уравнение имело ровно три корня, прямая $$y=a$$ должна касаться графика в одной точке и пересекать его ещё в двух точках. Это происходит при

$$a=1.$$