Упр.27.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на указанном отрезке: а) $$y=(10-x)e^{x-9},\ [8;10]$$; б) $$y=4x-\ln(x+2)^4,\ [-1;0]$$; в) $$y=\cos(3x)-3x+?,\ [-?/3;0]$$; г) $$y=(x+3)e^{2-x},\ [-3;2]$$; д) $$y=\ln(x+4)^3-3x,\ (-4;0]$$; е) $$y=4x-\sin(4x)+1,\ [-?/4;0]$$.

1. а) $$y=(10-x)e^{x-9}, \quad [8;10]$$

   Найдём производную:
   $$y’=-e^{x-9}+(10-x)e^{x-9}=e^{x-9}(9-x).$$
   Критическая точка: $$9-x=0 \Rightarrow x=9.$$

   Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
   $$y(8)=2e^{-1}=\frac{2}{e}, \quad y(9)=1\cdot e^0=1, \quad y(10)=0\cdot e^1=0.$$
   Следовательно, наименьшее значение равно $$0,$$ наибольшее — $$1.$$

2. б) $$y=4x-\ln (x+2)^4, \quad [-1;0]$$

   Производная:
   $$y’=4-\frac{4}{x+2}.$$
   Найдём критическую точку:
   $$4-\frac{4}{x+2}=0 \Rightarrow 4(x+2)-4=0 \Rightarrow 4x+4=0 \Rightarrow x=-1.$$

   Значения функции:
   $$y(-1)=4\cdot(-1)-\ln 1^4=-4,$$
   $$y(0)=0-\ln 2^4=-4\ln 2.$$
   Так как $$-4\ln 2>-4,$$ то
   наименьшее значение равно $$-4,$$ наибольшее — $$-4\ln 2.$$

3. в) $$y=\cos 3x-3x+\pi, \quad \left[-\frac{\pi}{3};0\right]$$

   Производная:
   $$y’=-3\sin 3x-3=-3(\sin 3x+1).$$
   Так как $$\sin 3x+1\ge 0,$$ то $$y’\le 0,$$ значит функция убывает на отрезке.

   Тогда:
   $$y\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos(-\pi)+\pi+\pi=2\pi-1,$$
   $$y(0)=\cos 0+\pi= \pi+1.$$
   Следовательно, наибольшее значение равно $$2\pi-1,$$ наименьшее — $$\pi+1.$$

4. г) $$y=(x+3)e^{2-x}, \quad [-3;2]$$

   Производная:
   $$y’=e^{2-x}-(x+3)e^{2-x}=e^{2-x}(-x-2).$$
   Критическая точка:
   $$-x-2=0 \Rightarrow x=-2.$$

   Значения функции:
   $$y(-3)=0\cdot e^5=0,\quad y(-2)=1\cdot e^4=e^4,\quad y(2)=5\cdot e^0=5.$$
   Значит, наименьшее значение равно $$0,$$ наибольшее — $$e^4.$$

5. д) $$y=\ln (x+4)^3-3x, \quad (-4;0]$$

   Производная:
   $$y’=\frac{3}{x+4}-3.$$
   Найдём критическую точку:
   $$\frac{3}{x+4}-3=0 \Rightarrow 3-3x-12=0 \Rightarrow x=-3.$$

   Значения функции:
   $$y(-3)=\ln 1^3+9=9,$$
   $$y(0)=\ln 4^3=3\ln 4=6\ln 2.$$
   Наибольшее значение равно $$9,$$ а наименьшего значения на промежутке нет, так как при $$x\to -4+$$ имеем $$y\to -\infty.$$

6. е) $$y=4x-\sin 4x+1, \quad \left[-\frac{\pi}{4};0\right]$$

   Производная:
   $$y’=4-4\cos 4x=4(1-\cos 4x)\ge 0.$$
   Значит, функция возрастает на отрезке.

   Тогда:
   $$y\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\pi-\sin(-\pi)+1=1-\pi,$$
   $$y(0)=1.$$
   Следовательно, наименьшее значение равно $$1-\pi,$$ наибольшее — $$1.$$

Ответ

а) $$0; 1$$
б) $$-4; -4\ln 2$$
в) $$2\pi-1; \pi+1$$
г) $$0; e^4$$
д) $$9; \text{наименьшего значения нет}$$
е) $$1-\pi; 1$$