Упр.27.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите точки экстремума функции:
   а) $$y=0{,}2x^5+4x^3-13x$$;
   г) $$y=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x-11$$;
   б) $$y=e^{5-x}(x^2-8x+8)$$;
   д) $$y=e^{x-1}(x^2-3x+3)$$;
   в) $$y=x^2-3x+3\ln(x+1)$$;
   е) $$y=x^2+5x+14\ln(3-x)$$.

1. а) $$y=0{,}2x^5+4x^3-13x$$

   $$y'(x)=0{,}2\cdot 5x^4+4\cdot 3x^2-13=x^4+12x^2-13.$$

   Решим неравенство $$x^4+12x^2-13\ge 0.$$ Обозначим $$t=x^2$$, тогда

   $$t^2+12t-13\ge 0.$$

   $$D=12^2+4\cdot 13=196,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-12\pm 14}{2},\quad t_1=-13,\quad t_2=1.$$

   Так как $$t=x^2\ge 0,$$ получаем $$x^2\ge 1,$$ то есть

   $$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

   Следовательно, функция возрастает при $$x\le -1$$ и $$x\ge 1,$$ убывает при $$-1<x<1.$$

   Значит, $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.

2. б) $$y=e^{5-x}(x^2-8x+8)$$

   $$y'(x)=-e^{5-x}(x^2-8x+8)+e^{5-x}(2x-8).$$

   $$y'(x)=e^{5-x}\bigl(-x^2+10x-16\bigr).$$

   Так как $$e^{5-x}>0,$$ то

   $$y'(x)\ge 0 \iff -x^2+10x-16\ge 0 \iff x^2-10x+16\le 0.$$

   $$D=10^2-4\cdot 16=36,$$

   $$x_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2},\quad x_1=2,\quad x_2=8.$$

   Тогда $$y'(x)\ge 0$$ при $$2\le x\le 8,$$ а вне этого промежутка $$y'(x)<0.$$

   Следовательно, $$x=2$$ — точка минимума, $$x=8$$ — точка максимума.

3. в) $$y=x^2-3x+3\ln(x+1)$$

   Область определения: $$x>-1.$$

   $$y'(x)=2x-3+\frac{3}{x+1}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$y'(x)=\frac{(2x-3)(x+1)+3}{x+1}=\frac{2x^2-x}{x+1}=\frac{x(2x-1)}{x+1}.$$

   Решаем неравенство

   $$\frac{x(2x-1)}{x+1}\ge 0,\qquad x>-1.$$

   Критические точки: $$x=-1,\; x=0,\; x=\frac12.$$

   На области определения получаем:

   $$y'(x)>0 \text{ при } -1<x<0 \text{ и } x>\frac12,$$

   $$y'(x)<0 \text{ при } 0<x<\frac12.$$

   Значит, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=\frac12$$ — точка минимума.

4. г) $$y=-\frac13x^3+x^2+3x-11$$

   $$y'(x)=-x^2+2x+3.$$

   $$y'(x)\ge 0 \iff x^2-2x-3\le 0.$$

   $$D=2^2+4\cdot 3=16,$$

   $$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2},\quad x_1=-1,\quad x_2=3.$$

   Следовательно, $$y'(x)\ge 0$$ при $$-1\le x\le 3,$$ а вне этого промежутка $$y'(x)<0.$$

   Значит, $$x=-1$$ — точка минимума, $$x=3$$ — точка максимума.

5. д) $$y=e^{x-1}(x^2-3x+3)$$

   $$y'(x)=e^{x-1}(x^2-3x+3)+e^{x-1}(2x-3).$$

   $$y'(x)=e^{x-1}(x^2-x)=e^{x-1}x(x-1).$$

   Так как $$e^{x-1}>0,$$ то знак производной определяется выражением $$x(x-1).$$

   $$y'(x)\ge 0 \iff x(x-1)\ge 0 \iff x\le 0 \text{ или } x\ge 1.$$

   Следовательно, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.

6. е) $$y=x^2+5x+14\ln(3-x)$$

   Область определения: $$x<3.$$

   $$y'(x)=2x+5-\frac{14}{3-x}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$y'(x)=\frac{(2x+5)(3-x)-14}{3-x}=\frac{-2x^2+x+1}{3-x}.$$

   Тогда

   $$\frac{-2x^2+x+1}{3-x}\ge 0 \iff \frac{2x^2-x-1}{x-3}\ge 0.$$

   $$2x^2-x-1=(2x+1)(x-1).$$

   Критические точки: $$x=-\frac12,\; x=1,\; x=3.$$

   На области определения $$x<3$$ получаем:

   $$y'(x)>0 \text{ при } -\frac12<x<1,$$

   $$y'(x)<0 \text{ при } x<-\frac12 \text{ и } 1<x<3.$$

   Значит, $$x=-\frac12$$ — точка минимума, $$x=1$$ — точка максимума.

Ответ

а) $$x_{\max}=-1,\; x_{\min}=1$$;

б) $$x_{\min}=2,\; x_{\max}=8$$;

в) $$x_{\max}=0,\; x_{\min}=\frac12$$;

г) $$x_{\min}=-1,\; x_{\max}=3$$;

д) $$x_{\max}=0,\; x_{\min}=1$$;

е) $$x_{\min}=-\frac12,\; x_{\max}=1$$.