Упр.27.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

26.10. Найдите вероятность того, что коробок с синими шарами среди выбранных будет ровно:
а) 6; в) 136; д) 64;
б) 36; г) 60; е) 52. Решите уравнение:
а) (sin(2x)-1)·v(4-x^2)=0;
б) (sin^2(x)-cos^2(x))·v(3+2x-x^2)=0;
в) tg(x)·lg(4-x^2)=0;
г) (2cos(2x)-1)·v(1-x^2)=0;
д) sin(2x)·v(6-x-x^2)=0;
е) ctg(x)·ln(9-x^2)=0.

1. Пусть $$X$$ — число контейнеров, из которых выбрана коробка с синими шарами. Тогда $$X$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n=150$$, $$p=0{,}4$$, $$q=0{,}6$$.

   Используем локальную формулу Муавра — Лапласа:

   $$P_{150}(k)\approx \frac{1}{\sqrt{150\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6}}\left(\Phi\!\left(\frac{k+0{,}5-150\cdot 0{,}4}{\sqrt{150\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6}}\right)-\Phi\!\left(\frac{k-0{,}5-150\cdot 0{,}4}{\sqrt{150\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6}}\right)\right).$$

   Здесь

   $$150\cdot 0{,}4=60,\qquad \sqrt{150\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6}=\sqrt{36}=6.$$

   Тогда:

   $$P_{150}(6)\approx 0,$$

   $$P_{150}(36)\approx 0,$$

   $$P_{150}(136)\approx 0,$$

   $$P_{150}(60)\approx 2\Phi(0{,}08)\approx 0{,}0638,$$

   $$P_{150}(64)\approx \Phi(0{,}75)-\Phi(0{,}58)\approx 0{,}0544,$$

   $$P_{150}(52)\approx \Phi(1{,}42)-\Phi(1{,}25)\approx 0{,}0278.$$

2. Решим уравнения по отдельности, учитывая область определения произведения.

   а) $$\left(\sin 2x-1\right)\sqrt{4-x^2}=0$$

   $$\sin 2x-1=0 \;\Rightarrow\; \sin 2x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

   $$\sqrt{4-x^2}=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 2.$$

   Область определения: $$4-x^2\ge 0,\; -2\le x\le 2.$$

   Ответ: $$-2,\;2,\;\frac{\pi}{4}.$$

   б) $$\left(\sin^2 x-\cos^2 x\right)\sqrt{3+2x-x^2}=0$$

   $$\sin^2 x-\cos^2 x=0 \;\Rightarrow\; -\cos 2x=0 \;\Rightarrow\; \cos 2x=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},$$

   $$3+2x-x^2=0 \;\Rightarrow\; x^2-2x-3=0 \;\Rightarrow\; x=-1,\;3.$$

   Область определения: $$3+2x-x^2\ge 0,\; -1\le x\le 3.$$

   Ответ: $$-1,\;3,\;\frac{\pi}{4},\;\frac{3\pi}{4}.$$

   в) $$\tg x\cdot \lg(4-x^2)=0$$

   $$\tg x=0 \;\Rightarrow\; x=\pi n,$$

   $$\lg(4-x^2)=0 \;\Rightarrow\; 4-x^2=1 \;\Rightarrow\; x=\pm \sqrt{3}.$$

   Область определения: $$4-x^2>0,\; -2<x<2.$$

   Ответ: $$-\sqrt{3},\;0,\;\sqrt{3}.$$

   г) $$\left(2\cos 2x-1\right)\sqrt{1-x^2}=0$$

   $$2\cos 2x-1=0 \;\Rightarrow\; \cos 2x=\frac12 \;\Rightarrow\; x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,$$

   $$1-x^2=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 1.$$

   Область определения: $$1-x^2\ge 0,\; -1\le x\le 1.$$

   Ответ: $$-1,\;1,\;-\frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{6}.$$

   д) $$\sin 2x\cdot \sqrt{6-x-x^2}=0$$

   $$\sin 2x=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi n}{2},$$

   $$6-x-x^2=0 \;\Rightarrow\; x^2+x-6=0 \;\Rightarrow\; x=-3,\;2.$$

   Область определения: $$6-x-x^2\ge 0,\; -3\le x\le 2.$$

   Ответ: $$-3,\;2,\;-\frac{\pi}{2},\;0,\;\frac{\pi}{2}.$$

   е) $$\ctg x\cdot \ln(9-x^2)=0$$

   $$\ctg x=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

   $$\ln(9-x^2)=0 \;\Rightarrow\; 9-x^2=1 \;\Rightarrow\; x=\pm 2\sqrt{2}.$$

   Область определения: $$9-x^2>0,\; -3<x<3.$$

   Ответ: $$-2\sqrt{2},\;2\sqrt{2},\;-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$0$$; в) $$0$$; г) $$0{,}0638$$; д) $$0{,}0544$$; е) $$0{,}0278$$.

а) $$-2,\;2,\;\frac{\pi}{4}$$; б) $$-1,\;3,\;\frac{\pi}{4},\;\frac{3\pi}{4}$$; в) $$-\sqrt{3},\;0,\;\sqrt{3}$$; г) $$-1,\;1,\;-\frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{6}$$; д) $$-3,\;2,\;-\frac{\pi}{2},\;0,\;\frac{\pi}{2}$$; е) $$-2\sqrt{2},\;2\sqrt{2},\;-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}$$.