Упр.27.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- В каждом из 150 контейнеров лежат 10 одинаковых по виду коробок, в 4 из которых — синие новогодние шары, а 6 — красные. Из каждого контейнера наудачу выбирают одну коробку. Найдите вероятность того, что коробок с синими шарами среди выбранных будет ровно: а) 6; в) 136; д) 64; б) 36; г) 60; е) 52.
- Решите уравнение: а) $$\left(\sin(2x)-1\right)\sqrt{4-x^2}=0$$; б) $$\left(\sin^2(x)-\cos^2(x)\right)\sqrt{3+2x-x^2}=0$$; в) $$\tg(x)\cdot\lg(4-x^2)=0$$; г) $$\left(2\cos(2x)-1\right)\sqrt{1-x^2}=0$$; д) $$\sin(2x)\sqrt{6-x-x^2}=0$$; е) $$\ctg(x)\cdot\ln(9-x^2)=0$$.
Пусть $$X$$ — число контейнеров, из которых выбрана коробка с синими шарами. Тогда $$X$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n=150$$, $$p=0{,}4$$, $$q=0{,}6$$.
Используем локальную формулу Муавра — Лапласа:
$$P_{150}(k)\approx \frac{1}{\sqrt{150\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6}}\left(\Phi\!\left(\frac{k+0{,}5-150\cdot 0{,}4}{\sqrt{150\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6}}\right)-\Phi\!\left(\frac{k-0{,}5-150\cdot 0{,}4}{\sqrt{150\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6}}\right)\right).$$
Здесь
$$150\cdot 0{,}4=60,\qquad \sqrt{150\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6}=\sqrt{36}=6.$$
Тогда:
$$P_{150}(6)\approx 0,$$
$$P_{150}(36)\approx 0,$$
$$P_{150}(136)\approx 0,$$
$$P_{150}(60)\approx 2\Phi(0{,}08)\approx 0{,}0638,$$
$$P_{150}(64)\approx \Phi(0{,}75)-\Phi(0{,}58)\approx 0{,}0544,$$
$$P_{150}(52)\approx \Phi(1{,}42)-\Phi(1{,}25)\approx 0{,}0278.$$
Решим уравнения по отдельности, учитывая область определения произведения.
а) $$\left(\sin 2x-1\right)\sqrt{4-x^2}=0$$
$$\sin 2x-1=0 \;\Rightarrow\; \sin 2x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$\sqrt{4-x^2}=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 2.$$
Область определения: $$4-x^2\ge 0,\; -2\le x\le 2.$$
Ответ: $$-2,\;2,\;\frac{\pi}{4}.$$
б) $$\left(\sin^2 x-\cos^2 x\right)\sqrt{3+2x-x^2}=0$$
$$\sin^2 x-\cos^2 x=0 \;\Rightarrow\; -\cos 2x=0 \;\Rightarrow\; \cos 2x=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},$$
$$3+2x-x^2=0 \;\Rightarrow\; x^2-2x-3=0 \;\Rightarrow\; x=-1,\;3.$$
Область определения: $$3+2x-x^2\ge 0,\; -1\le x\le 3.$$
Ответ: $$-1,\;3,\;\frac{\pi}{4},\;\frac{3\pi}{4}.$$
в) $$\tg x\cdot \lg(4-x^2)=0$$
$$\tg x=0 \;\Rightarrow\; x=\pi n,$$
$$\lg(4-x^2)=0 \;\Rightarrow\; 4-x^2=1 \;\Rightarrow\; x=\pm \sqrt{3}.$$
Область определения: $$4-x^2>0,\; -2<x<2.$$
Ответ: $$-\sqrt{3},\;0,\;\sqrt{3}.$$
г) $$\left(2\cos 2x-1\right)\sqrt{1-x^2}=0$$
$$2\cos 2x-1=0 \;\Rightarrow\; \cos 2x=\frac12 \;\Rightarrow\; x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,$$
$$1-x^2=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 1.$$
Область определения: $$1-x^2\ge 0,\; -1\le x\le 1.$$
Ответ: $$-1,\;1,\;-\frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{6}.$$
д) $$\sin 2x\cdot \sqrt{6-x-x^2}=0$$
$$\sin 2x=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi n}{2},$$
$$6-x-x^2=0 \;\Rightarrow\; x^2+x-6=0 \;\Rightarrow\; x=-3,\;2.$$
Область определения: $$6-x-x^2\ge 0,\; -3\le x\le 2.$$
Ответ: $$-3,\;2,\;-\frac{\pi}{2},\;0,\;\frac{\pi}{2}.$$
е) $$\ctg x\cdot \ln(9-x^2)=0$$
$$\ctg x=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$\ln(9-x^2)=0 \;\Rightarrow\; 9-x^2=1 \;\Rightarrow\; x=\pm 2\sqrt{2}.$$
Область определения: $$9-x^2>0,\; -3<x<3.$$
Ответ: $$-2\sqrt{2},\;2\sqrt{2},\;-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}.$$
Ответ
а) $$0$$; б) $$0$$; в) $$0$$; г) $$0{,}0638$$; д) $$0{,}0544$$; е) $$0{,}0278$$.
а) $$-2,\;2,\;\frac{\pi}{4}$$; б) $$-1,\;3,\;\frac{\pi}{4},\;\frac{3\pi}{4}$$; в) $$-\sqrt{3},\;0,\;\sqrt{3}$$; г) $$-1,\;1,\;-\frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{6}$$; д) $$-3,\;2,\;-\frac{\pi}{2},\;0,\;\frac{\pi}{2}$$; е) $$-2\sqrt{2},\;2\sqrt{2},\;-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}$$.
