Упр.27.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

26.9. Найдите вероятность того, что коробок с синими шарами среди выбранных будет:
а) меньше 40; в) не больше 60; д) от 54 до 66;
б) меньше 80; г) не меньше 60; е) от 48 до 72. Решите уравнение:
а) (x^2-36)(x-v(6-5x))=0; г) (x^2-25)(x-v(10-3x))=0;
б) v(x^2-49)/(v(14-5x)-x)=0; д) (v(15-2x)-x)/v(x^2-25)=0;
в) (v(6-5x)-x)/log_5(x^2-12)=0; е) lg(x^2-8)/(v(10-3x)-x+2)=0.

Обозначим через $$X$$ число выбранных контейнеров, в которых окажутся коробки с синими шарами. Тогда

$$n=150,\quad p=0{,}4,\quad q=0{,}6,$$

$$np=150\cdot 0{,}4=60,\quad \sqrt{npq}=\sqrt{150\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6}=\sqrt{36}=6.$$

Используем формулу Муавра — Лапласа:

$$P(X\le k)\approx \Phi\!\left(\frac{k-60}{6}\right)+0{,}5,$$

где $$\Phi$$ — функция Лапласа.

1. Меньше 40:

   $$P(X<40)=P(X\le 39)\approx \Phi\!\left(\frac{39-60}{6}\right)+0{,}5=\Phi(-3{,}5)+0{,}5\approx 0.$$

2. Меньше 80:

   $$P(X<80)=P(X\le 79)\approx \Phi\!\left(\frac{79-60}{6}\right)+0{,}5=\Phi(3{,}2)+0{,}5\approx 1.$$

3. Не больше 60:

   $$P(X\le 60)\approx \Phi\!\left(\frac{60-60}{6}\right)+0{,}5=\Phi(0)+0{,}5=0{,}5.$$

4. Не меньше 60:

   $$P(X\ge 60)\approx 0{,}5-\Phi\!\left(\frac{60-60}{6}\right)=0{,}5.$$

5. От 54 до 66:

   $$P(54\le X\le 66)\approx \Phi\!\left(\frac{66-60}{6}\right)-\Phi\!\left(\frac{54-60}{6}\right)=2\Phi(1)\approx 0{,}6826.$$

6. От 48 до 72:

   $$P(48\le X\le 72)\approx \Phi\!\left(\frac{72-60}{6}\right)-\Phi\!\left(\frac{48-60}{6}\right)=2\Phi(2)\approx 0{,}9544.$$

Решим уравнения.

1. $$\left(x^2-36\right)\left(x-\sqrt{6-5x}\right)=0.$$

   Тогда

   $$x^2-36=0 \Rightarrow x=\pm 6,$$

   или

   $$x-\sqrt{6-5x}=0 \Rightarrow x=\sqrt{6-5x}.$$

   Возводим в квадрат:

   $$x^2=6-5x,$$

   $$x^2+5x-6=0,$$

   $$D=25+24=49,$$

   $$x_1=-6,\quad x_2=1.$$

   С учётом области определения $$6-5x\ge 0$$ получаем:

   Ответ: $$-6;\ 1.$$

2. $$\frac{\sqrt{x^2-49}}{\sqrt{14-5x}-x}=0.$$

   Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$\sqrt{x^2-49}=0 \Rightarrow x^2=49 \Rightarrow x=\pm 7.$$

   Проверим область определения: $$x^2-49\ge 0$$, значит $$x\le -7$$ или $$x\ge 7$$; кроме того, $$\sqrt{14-5x}-x\ne 0.$$

   Подходит только $$x=-7$$.

   Ответ: $$-7.$$

3. $$\frac{\sqrt{6-5x}-x}{\log_5(x^2-12)}=0.$$

   Тогда

   $$\sqrt{6-5x}-x=0 \Rightarrow x=\sqrt{6-5x}.$$

   После возведения в квадрат получаем:

   $$x^2+5x-6=0,$$

   $$x=-6,\ 1.$$

   Но из условия $$6-5x\ge 0$$ следует $$x\le \frac65,$$ а также для логарифма нужно $$x^2-12>0$$ и $$x^2-12\ne 1.$$ Ни одно из найденных значений не подходит.

   Ответ: корней нет.

4. $$\left(x^2-25\right)\left(x-\sqrt{10-3x}\right)=0.$$

   Тогда

   $$x^2-25=0 \Rightarrow x=\pm 5,$$

   или

   $$x=\sqrt{10-3x}.$$

   Возводим в квадрат:

   $$x^2=10-3x,$$

   $$x^2+3x-10=0,$$

   $$D=49,$$

   $$x_1=-5,\quad x_2=2.$$

   С учётом области определения $$10-3x\ge 0$$ получаем:

   Ответ: $$-5;\ 2.$$

5. $$\frac{\sqrt{15-2x}-x}{\sqrt{x^2-25}}=0.$$

   Нужно, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель — не равен нулю:

   $$\sqrt{15-2x}-x=0 \Rightarrow x=\sqrt{15-2x}.$$

   Тогда

   $$x^2=15-2x,$$

   $$x^2+2x-15=0,$$

   $$D=64,$$

   $$x_1=-5,\quad x_2=3.$$

   Но из условия $$x^2-25>0$$ следует $$x<-5$$ или $$x>5,$$ поэтому найденные значения не подходят.

   Ответ: корней нет.

6. $$\frac{\lg(x^2-8)}{\sqrt{10-3x}-x+2}=0.$$

   Тогда

   $$\lg(x^2-8)=0 \Rightarrow x^2-8=1 \Rightarrow x^2=9,$$

   откуда $$x=\pm 3.$$

   Проверим область определения: $$x^2-8>0$$ и $$\sqrt{10-3x}-x+2\ne 0.$$

   При $$x=3$$ знаменатель равен нулю, а при $$x=-3$$ все условия выполняются.

   Ответ: $$-3.$$