Упр.27.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите вероятность того, что мальчиков среди 100 новорождённых будет ровно: а) 50; в) 51; д) 52; б) 53; г) 60; е) 45.
2. Решите уравнение: а) $$\lg(x^2-2x-8)=\lg(3x-12)$$; б) $$\lg(x^2-9x+18)=\lg(2x-12)$$.

Пусть вероятность рождения мальчика равна $$p=0{,}5,$$ тогда $$q=0{,}5,$$ а $$pq=0{,}25.$$

Для $$n=100$$ имеем:

$$np=100\cdot 0{,}5=50,$$

$$\sqrt{npq}=\sqrt{100\cdot 0{,}25}=5.$$

Используем формулу Муавра — Лапласа:

$$P_{100}(k)=\Phi\!\left(\frac{k+0{,}5-50}{5}\right)-\Phi\!\left(\frac{k-0{,}5-50}{5}\right).$$

1. $$k=50$$

   $$P_{100}(50)=\Phi(0{,}1)-\Phi(-0{,}1)=0{,}0398+0{,}0398=0{,}0796.$$

2. $$k=53$$

   $$P_{100}(53)=\Phi(0{,}7)-\Phi(0{,}5)=0{,}2580-0{,}1915=0{,}0665.$$

3. $$k=51$$

   $$P_{100}(51)=\Phi(0{,}3)-\Phi(0{,}1)=0{,}1179-0{,}0398=0{,}0781.$$

4. $$k=60$$

   $$P_{100}(60)=\Phi(2{,}1)-\Phi(1{,}9)=0{,}4821-0{,}4713=0{,}0108.$$

5. $$k=52$$

   $$P_{100}(52)=\Phi(0{,}5)-\Phi(0{,}3)=0{,}1915-0{,}1179=0{,}0736.$$

6. $$k=45$$

   $$P_{100}(45)=\Phi(1{,}1)-\Phi(0{,}9)=0{,}3643-0{,}3159=0{,}0484.$$

Решим уравнения.

1. $$\lg(x^2-2x-8)=\lg(3x-12)$$

   Так как логарифмы равны, то равны их аргументы:

   $$x^2-2x-8=3x-12,$$

   $$x^2-5x+4=0,$$

   $$D=25-16=9,$$

   $$x_1=1,\quad x_2=4.$$

   Проверим область определения:

   $$x^2-2x-8>0,\quad 3x-12>0.$$

   Из второго неравенства $$x>4.$$

   Ни одно из найденных значений этому не удовлетворяет, значит, корней нет.

2. $$\lg(x^2-9x+18)=\lg(2x-12)$$

   Равенство аргументов даёт:

   $$x^2-9x+18=2x-12,$$

   $$x^2-11x+30=0,$$

   $$D=121-120=1,$$

   $$x_1=5,\quad x_2=6.$$

   Область определения:

   $$2x-12>0,\quad x>6.$$

   Ни одно из найденных значений не подходит, значит, корней нет.

Ответ

$$P_{100}(50)=0{,}0796,\; P_{100}(53)=0{,}0665,\; P_{100}(51)=0{,}0781,\; P_{100}(60)=0{,}0108,\; P_{100}(52)=0{,}0736,\; P_{100}(45)=0{,}0484.$$

а) корней нет; б) корней нет.