Упр.27.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) не более 4000; г) от 4900 до 5000;
б) не более 5000; д) от 4950 до 5050;
в) не более 6000; е) от 4800 до 5100. Решите уравнение:
а) v(x^4+x^2-7x+5)=1-x^2; в) v(x^4-17x+8)=x^2-2;
б) v(x^4+x^2-7x+5)=x^2-1; г) v(x^4-17x+8)=2-x^2.

Подробный ответ

Для числа девочек среди $$10\,000$$ новорождённых используем нормальное приближение биномиального распределения:

$$p=0{,}5,\quad q=0{,}5,\quad np=10\,000\cdot 0{,}5=5000,\quad \sqrt{npq}=\sqrt{10\,000\cdot 0{,}25}=50.$$

Тогда

$$P(k\leqslant m)=\Phi\!\left(\frac{m-5000}{50}\right)+0{,}5,$$

а для промежутка $$a\leqslant k\leqslant b$$:

$$P(a\leqslant k\leqslant b)=\Phi\!\left(\frac{b-5000}{50}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-5000}{50}\right).$$

$$P(k\leqslant 4000)=\Phi\!\left(\frac{4000-5000}{50}\right)+0{,}5=\Phi(-20)+0{,}5\approx 0.$$
$$P(k\leqslant 5000)=\Phi(0)+0{,}5=0{,}5.$$
$$P(k\leqslant 6000)=\Phi\!\left(\frac{6000-5000}{50}\right)+0{,}5=\Phi(20)+0{,}5\approx 1.$$
$$P(4900\leqslant k\leqslant 5000)=\Phi(0)-\Phi(-2)=\Phi(2)\approx 0{,}4772.$$
$$P(4950\leqslant k\leqslant 5050)=\Phi(1)-\Phi(-1)=2\Phi(1)\approx 0{,}6826.$$
$$P(4800\leqslant k\leqslant 5100)=\Phi(2)-\Phi(-4)\approx 0{,}9772.$$

Решим уравнения.

$$\sqrt{x^4+x^2-7x+5}=1-x^2.$$
Так как правая часть неотрицательна, то $$1-x^2\geqslant 0$$, значит $$-1\leqslant x\leqslant 1.$$
Возведём в квадрат:
$$x^4+x^2-7x+5=(1-x^2)^2=1-2x^2+x^4.$$
$$3x^2-7x+4=0.$$
$$D=49-48=1,$$
$$x_1=\frac{7-1}{6}=1,\quad x_2=\frac{7+1}{6}=\frac{4}{3}.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=1.$$
$$\sqrt{x^4+x^2-7x+5}=x^2-1.$$
Здесь $$x^2-1\geqslant 0,$$ значит $$x\leqslant -1$$ или $$x\geqslant 1.$$
После возведения в квадрат получаем то же уравнение:
$$3x^2-7x+4=0,$$
$$x_1=1,\quad x_2=\frac{4}{3}.$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
$$\sqrt{x^4-17x+8}=x^2-2.$$
ОДЗ: $$x^2-2\geqslant 0,$$ то есть $$x\leqslant -\sqrt2$$ или $$x\geqslant \sqrt2.$$
Возведём в квадрат:
$$x^4-17x+8=(x^2-2)^2=x^4-4x^2+4.$$
$$4x^2-17x+4=0.$$
$$D=289-64=225,$$
$$x_1=\frac{17-15}{8}=\frac14,\quad x_2=\frac{17+15}{8}=4.$$
Из ОДЗ подходит только $$x=4.$$
$$\sqrt{x^4-17x+8}=2-x^2.$$
ОДЗ: $$2-x^2\geqslant 0,$$ значит $$-\sqrt2\leqslant x\leqslant \sqrt2.$$
После возведения в квадрат получаем:
$$x^4-17x+8=(2-x^2)^2=x^4-4x^2+4,$$
$$4x^2-17x+4=0.$$
Корни те же:
$$x_1=\frac14,\quad x_2=4.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=\frac14.$$