Упр.27.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- После успешного прохождения первого уровня компьютерной игры на мониторе запускается лотерейный барабан, в котором 2 белых и 8 чёрных одинаковых по размеру шаров. Если выпадает белый шар, то игрок переходит сразу на третий уровень и это — «успех». Если выпадает чёрный шар, то игрок переходит на второй уровень и это — «неудача». Для $$n=2500$$ повторений найдите:
а) среднее $$np$$;
б) среднее квадратическое $$\sqrt{npq}$$;
в) вероятность $$P_n(k?700)$$;
г) вероятность $$P_n(k?250)$$;
д) вероятность $$P_n(500?k)$$;
е) вероятность $$P_n(450?k?550)$$. - Решите уравнение:
а) $$\sqrt{7x-12}=x$$;
г) $$\sqrt{7x-13}=x-1$$;
б) $$\sqrt{2x-3}=x-3$$;
д) $$\sqrt{7-x}=x-5$$;
в) $$\sqrt{x^2+12x-4}=2x-1$$;
е) $$\sqrt{x^2-x+3}=2x-3$$.
Вероятность успеха в одном испытании:
$$p=\frac{2}{10}=0{,}2,\qquad q=1-p=0{,}8.$$
Для $$n=2500$$:
а) среднее число успехов:
$$np=2500\cdot 0{,}2=500.$$
б) среднее квадратическое:
$$\sqrt{npq}=\sqrt{2500\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8}=\sqrt{400}=20.$$
Для вероятностей используем формулу Муавра — Лапласа:
$$P_n(k\le m)\approx \Phi\!\left(\frac{m-np}{\sqrt{npq}}\right)+0{,}5,$$
где $$\Phi(x)$$ — функция Лапласа.
в)
$$P_{2500}(k\le 700)=\Phi\!\left(\frac{700-500}{20}\right)+0{,}5=\Phi(10)+0{,}5\approx 1.$$
г)
$$P_{2500}(k\le 250)=\Phi\!\left(\frac{250-500}{20}\right)+0{,}5=\Phi(-12{,}5)+0{,}5\approx 0.$$
д)
$$P_{2500}(500\le k)=0{,}5-\Phi\!\left(\frac{500-500}{20}\right)=0{,}5-\Phi(0)=0{,}5.$$
е)
$$P_{2500}(450\le k\le 550)=\Phi\!\left(\frac{550-500}{20}\right)-\Phi\!\left(\frac{450-500}{20}\right)$$
$$=\Phi(2{,}5)+\Phi(2{,}5)=2\cdot 0{,}4938=0{,}9876.$$
Решим уравнения.
а)
$$\sqrt{7x-12}=x$$
$$7x-12=x^2$$
$$x^2-7x+12=0$$
$$D=49-48=1,$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{2}.$$
$$x_1=3,\quad x_2=4.$$
Оба корня подходят.
б)
$$\sqrt{2x-3}=x-3$$
$$2x-3=x^2-6x+9$$
$$x^2-8x+12=0$$
$$D=64-48=16,$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 4}{2}.$$
$$x_1=2,\quad x_2=6.$$
С учётом области определения $$x\ge 3$$ подходит только $$x=6$$.
в)
$$\sqrt{x^2+12x-4}=2x-1$$
$$x^2+12x-4=4x^2-4x+1$$
$$3x^2-16x+5=0$$
$$D=256-60=196,$$
$$x_{1,2}=\frac{16\pm 14}{6}.$$
$$x_1=\frac13,\quad x_2=5.$$
С учётом области определения подходит только $$x=5$$.
г)
$$\sqrt{7x-13}=x-1$$
$$7x-13=x^2-2x+1$$
$$x^2-9x+14=0$$
$$D=81-56=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{9\pm 5}{2}.$$
$$x_1=2,\quad x_2=7.$$
Оба корня подходят.
д)
$$\sqrt{7-x}=x-5$$
$$7-x=x^2-10x+25$$
$$x^2-9x+18=0$$
$$D=81-72=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{9\pm 3}{2}.$$
$$x_1=3,\quad x_2=6.$$
С учётом области определения подходит только $$x=6$$.
е)
$$\sqrt{x^2-x+3}=2x-3$$
$$x^2-x+3=4x^2-12x+9$$
$$3x^2-11x+6=0$$
$$D=121-72=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{11\pm 7}{6}.$$
$$x_1=\frac23,\quad x_2=3.$$
С учётом области определения подходит только $$x=3$$.
Ответ
а) $$500$$; б) $$20$$; в) $$1$$; г) $$0$$; д) $$0{,}5$$; е) $$0{,}9876$$.
а) $$3,\,4$$; б) $$6$$; в) $$5$$; г) $$2,\,7$$; д) $$6$$; е) $$3$$.
