Упр.27.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

26.1. Наудачу выбирают две коробки. Какова вероятность того, что:
а) они пустые;
б) они обе не пустые;
в) одна из них пустая, а другая нет;
г) одна из них пустая, а другая — с сюрпризом;
д) они обе с призом;
е) в них нет сюрприза? Является ли уравнение x^(1/3)=2 равносильным данному уравнению:
а) 32/x=4; г) |x-3|=5;
б) x^2-6x-16=0; д) (2x^2-16x)/x=0;
в) 2^x=256; е) log_2(x)=3?

Подробный ответ

Пусть всего коробок $$10$$: $$5$$ пустых, $$3$$ с призом и $$2$$ с сюрпризом. Выбирают две коробки без возвращения.

а) Обе пустые:
$$P=\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{2}{9}.$$
б) Обе не пустые:
Непустых коробок $$3+2=5$$.
$$P=\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{2}{9}.$$
в) Одна пустая, другая не пустая:
$$P=\frac{5}{10}\cdot\frac{5}{9}+\frac{5}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{5}{9}.$$
г) Одна пустая, другая с сюрпризом:
$$P=\frac{5}{10}\cdot\frac{2}{9}+\frac{2}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{2}{9}.$$
д) Обе с призом:
$$P=\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{1}{15}.$$
е) В них нет сюрприза:
Без сюрприза коробок $$5+3=8$$.
$$P=\frac{8}{10}\cdot\frac{7}{9}=\frac{28}{45}.$$

Проверим равносильность уравнений с $$\sqrt[3]{x}=2$$. Его решение: $$x=2^3=8$$.

а) $$\frac{32}{x}=4$$
$$32=4x,\quad x=8.$$
Равносильно.
б) $$x^2-6x-16=0$$
$$D=6^2+4\cdot 16=100,$$
$$x=\frac{6\pm 10}{2}\Rightarrow x=8,\,-2.$$
Не равносильно.
в) $$2^x=256$$
$$2^x=2^8,\quad x=8.$$
Равносильно.
г) $$|x-3|=5$$
$$x-3=-5,\ x=-2;\qquad x-3=5,\ x=8.$$
Не равносильно.
д) $$\frac{2x^2-16x}{x}=0$$
ОДЗ: $$x\ne 0.$$ Тогда
$$2x^2-16x=0$$
$$2x(x-8)=0,\quad x=0 \text{ или } x=8.$$
С учётом ОДЗ остаётся $$x=8$$.
Равносильно.
е) $$\log_2 x=3$$
$$x=2^3=8.$$
Равносильно.