Упр.26.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Функция $$y=p(x)$$ плотности распределения случайной величины $$W$$ равна нулю вне интервала $$(0;4)$$, постоянна на полуинтервале $$[0;2)$$, постоянна на отрезке $$[2;4]$$, и $$P(1\leq W\leq 4)=0{,}8$$. Для функции $$y=p(x)$$ выполните задание: а) найдите $$p(1{,}99)$$; б) постройте её график; в) найдите число $$a$$, для которого $$P(0\leq W\leq a)=0{,}6$$; г) найдите вероятность $$P(2\leq W\leq 4)$$; д) найдите вероятность $$P(3\leq W\leq 10)$$; е) постройте график функции $$g(x)=P(W\leq x)$$.
- Найдите вероятность того, что мальчиков среди 100 новорождённых будет ровно: а) 50; в) 51; д) 52; б) 53; г) 60; е) 45.
Так как плотность постоянна на промежутках $$[0;2)$$ и $$[2;4]$$, обозначим:
$$p(x)= \begin{cases} 0, & x<0 \text{ или } x>4,\\ 0{,}2, & 0\le x<2,\\ 0{,}3, & 2\le x\le 4. \end{cases}$$
Проверим по условию:
$$P(1\le W\le 4)=0{,}2\cdot 1+0{,}3\cdot 2=0{,}8.$$
а) Так как $$1{,}99<2,$$ то
$$p(1{,}99)=0{,}2.$$
б) График функции $$p(x)$$ — ступенчатая функция: на $$[0;2)$$ горизонтальный отрезок на уровне $$y=0{,}2,$$ на $$[2;4]$$ — горизонтальный отрезок на уровне $$y=0{,}3,$$ вне отрезка $$[0;4]$$ значение равно нулю.
в) Найдём число $$a,$$ для которого $$P(0\le W\le a)=0{,}6.$$
Так как $$0{,}6>0{,}2\cdot 2=0{,}4,$$ то число $$a$$ лежит на участке $$[2;4].$$ Тогда
$$0{,}2\cdot 2+0{,}3(a-2)=0{,}6,$$
$$0{,}4+0{,}3a-0{,}6=0{,}6,$$
$$0{,}3a=0{,}8,$$
$$a=\frac{8}{3}.$$
г)
$$P(2\le W\le 4)=0{,}3\cdot(4-2)=0{,}6.$$
д) Так как плотность вне интервала $$[0;4]$$ равна нулю, то
$$P(3\le W\le 10)=P(3\le W\le 4)=0{,}3\cdot(4-3)=0{,}3.$$
е) Функция распределения $$g(x)=P(W\le x)$$ имеет вид:
$$g(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 0{,}2x, & 0\le x<2,\\ 0{,}4+0{,}3(x-2)=0{,}3x-0{,}2, & 2\le x\le 4,\\ 1, & x>4. \end{cases}$$
Её график проходит через точки $$\left(0;0\right), \left(2;0{,}4\right), \left(4;1\right)$$ и далее остаётся постоянным, равным $$1.$$
Для биномиального распределения: $$n=100,\ p=0{,}5,\ q=0{,}5,\ np=50,\ \sqrt{npq}=5.$$
Используем формулу Муавра — Лапласа:
$$P_{100}(k)=\Phi\!\left(\frac{k+0{,}5-50}{5}\right)-\Phi\!\left(\frac{k-0{,}5-50}{5}\right).$$
а) $$k=50$$
$$P_{100}(50)=\Phi(0{,}1)-\Phi(-0{,}1)=0{,}0398+0{,}0398=0{,}0796.$$
б) $$k=53$$
$$P_{100}(53)=\Phi(0{,}7)-\Phi(0{,}5)=0{,}2580-0{,}1915=0{,}0665.$$
в) $$k=51$$
$$P_{100}(51)=\Phi(0{,}3)-\Phi(0{,}1)=0{,}1179-0{,}0398=0{,}0781.$$
г) $$k=60$$
$$P_{100}(60)=\Phi(2{,}1)-\Phi(1{,}9)=0{,}4821-0{,}4713=0{,}0108.$$
д) $$k=52$$
$$P_{100}(52)=\Phi(0{,}5)-\Phi(0{,}3)=0{,}1915-0{,}1179=0{,}0736.$$
е) $$k=45$$
$$P_{100}(45)=\Phi(1{,}1)-\Phi(0{,}9)=0{,}3643-0{,}3159=0{,}0484.$$
Ответ
а) $$0{,}2$$; б) график ступенчатый; в) $$a=\frac{8}{3}$$; г) $$0{,}6$$; д) $$0{,}3$$; е) $$g(x)=P(W\le x)$$, где $$g(x)=0$$ при $$x<0,$$ $$g(x)=0{,}2x$$ при $$0\le x<2,$$ $$g(x)=0{,}3x-0{,}2$$ при $$2\le x\le 4,$$ $$g(x)=1$$ при $$x>4.$$
Для числа мальчиков среди 100 новорождённых: а) $$0{,}0796$$; б) $$0{,}0665$$; в) $$0{,}0781$$; г) $$0{,}0108$$; д) $$0{,}0736$$; е) $$0{,}0484$$.
