Упр.26.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) найдите p(1);
б) постройте её график;
в) задайте её уравнением на отрезке [1; 3];
г) найдите вероятность P(1 ? U ? 3);
д) найдите вероятность P(-3 ? U ? 2);
е) найдите вероятность P(U < 1,5). Найдите вероятность того, что девочек среди 10 000 новорождённых будет:
а) не более 4000; г) от 4900 до 5000;
б) не более 5000; д) от 4950 до 5050;
в) не более 6000; е) от 4800 до 5100.
Пусть на отрезке $$[1;3]$$ плотность имеет вид
$$p(x)=a(x-1)(x-3).$$
Так как вне отрезка $$[1;3]$$ функция равна нулю, а площадь под графиком плотности равна $$1$$, то
$$ \int\limits_{1}^{3} a(x-1)(x-3)\,dx=1. $$
Раскроем скобки:
$$ \int\limits_{1}^{3} a(x^2-4x+3)\,dx=1. $$
Тогда
$$ a\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)\Bigg|_{1}^{3}=1, $$
$$ a\left(9-18+9-\frac13+2-3\right)=1, $$
$$ a\cdot\left(-\frac43\right)=1,\qquad a=-\frac34. $$
Значит, на отрезке $$[1;3]$$
$$ p(x)=-\frac34(x-1)(x-3)=\frac34(x-1)(3-x). $$
а) $$p(1)=0$$.
б) График — ветвь параболы, направленная вниз, с нулями в точках $$x=1$$ и $$x=3$$, вершина находится посередине, при $$x=2$$.
в) Уравнение функции на отрезке $$[1;3]$$:
$$ p(x)=\frac34(x-1)(3-x),\qquad x\in[1;3]. $$
г) Так как это плотность распределения, то
$$ P(1\le U\le 3)=\int\limits_{1}^{3}p(x)\,dx=1. $$
д) Поскольку вне отрезка $$[1;3]$$ плотность равна нулю, а точка $$2$$ делит площадь под графиком пополам, получаем
$$ P(-3\le U\le 2)=\frac12. $$
е)
$$ P(U<1{,}5)=\int\limits_{1}^{1{,}5} -\frac34(x^2-4x+3)\,dx $$
$$ =-\frac34\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)\Bigg|_{1}^{1{,}5} =\frac{5}{32}. $$
Для числа девочек среди $$10000$$ новорождённых используем нормальное приближение биномиального распределения: $$p=0{,}5$$, $$q=0{,}5$$,
$$ np=10000\cdot0{,}5=5000,\qquad \sqrt{npq}=\sqrt{10000\cdot0{,}25}=50. $$
Тогда:
а) $$P(k\le 4000)\approx 0$$;
б) $$P(k\le 5000)=0{,}5$$;
в) $$P(k\le 6000)\approx 1$$;
г)
$$ P(4900\le k\le 5000)\approx 0{,}4772; $$
д)
$$ P(4950\le k\le 5050)\approx 0{,}6826; $$
е)
$$ P(4800\le k\le 5100)\approx 0{,}9772. $$
Ответ
$$ p(1)=0,\quad p(x)=\frac34(x-1)(3-x),\ x\in[1;3], $$
$$ P(1\le U\le 3)=1,\quad P(-3\le U\le 2)=\frac12,\quad P(U<1{,}5)=\frac{5}{32}. $$
Для числа девочек среди $$10000$$ новорождённых: а) $$0$$; б) $$0{,}5$$; в) $$1$$; г) $$0{,}4772$$; д) $$0{,}6826$$; е) $$0{,}9772$$.
