Упр.26.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года. Непрерывная функция $$y=p(x)$$ плотности распределения случайной величины $$U$$ равна нулю вне отрезка $$[1;3]$$ и является квадратичной на отрезке $$[1;3]$$. Для функции $$y=p(x)$$ выполните задание:
а) найдите $$p(1)$$;
б) постройте её график;
в) задайте её уравнением на отрезке $$[1;3]$$;
г) найдите вероятность $$P(1\leq U\leq 3)$$;
д) найдите вероятность $$P(-3\leq U\leq 2)$$;
е) найдите вероятность $$P(U<1{,}5)$$.
Задание учебника 2022 года. Найдите вероятность того, что девочек среди $$10\,000$$ новорождённых будет:
а) не более $$4000$$;
г) от $$4900$$ до $$5000$$;
б) не более $$5000$$;
д) от $$4950$$ до $$5050$$;
в) не более $$6000$$;
е) от $$4800$$ до $$5100$$.
Пусть на отрезке $$[1;3]$$ плотность имеет вид
$$p(x)=a(x-1)(x-3).$$
Так как вне отрезка $$[1;3]$$ функция равна нулю, а площадь под графиком плотности равна $$1$$, то
$$\int\limits_{1}^{3} a(x-1)(x-3)\,dx=1.$$
Раскроем скобки:
$$\int\limits_{1}^{3} a(x^2-4x+3)\,dx=1.$$
Тогда
$$a\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)\Bigg|_{1}^{3}=1,$$
$$a\left(9-18+9-\frac13+2-3\right)=1,$$
$$a\cdot\left(-\frac43\right)=1,\qquad a=-\frac34.$$
Значит, на отрезке $$[1;3]$$
$$p(x)=-\frac34(x-1)(x-3)=\frac34(x-1)(3-x).$$
а) $$p(1)=0$$.
б) График — ветвь параболы, направленная вниз, с нулями в точках $$x=1$$ и $$x=3$$, вершина находится посередине, при $$x=2$$.
в) Уравнение функции на отрезке $$[1;3]$$:
$$p(x)=\frac34(x-1)(3-x),\qquad x\in[1;3].$$
г) Так как это плотность распределения, то
$$P(1\le U\le 3)=\int\limits_{1}^{3}p(x)\,dx=1.$$
д) Поскольку вне отрезка $$[1;3]$$ плотность равна нулю, а точка $$2$$ делит площадь под графиком пополам, получаем
$$P(-3\le U\le 2)=\frac12.$$
е)
$$P(U<1{,}5)=\int\limits_{1}^{1{,}5} -\frac34(x^2-4x+3)\,dx$$
$$=-\frac34\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)\Bigg|_{1}^{1{,}5} =\frac{5}{32}.$$
Для числа девочек среди $$10000$$ новорождённых используем нормальное приближение биномиального распределения: $$p=0{,}5$$, $$q=0{,}5$$,
$$np=10000\cdot0{,}5=5000,\qquad \sqrt{npq}=\sqrt{10000\cdot0{,}25}=50.$$
Тогда:
а) $$P(k\le 4000)\approx 0$$;
б) $$P(k\le 5000)=0{,}5$$;
в) $$P(k\le 6000)\approx 1$$;
г)
$$P(4900\le k\le 5000)\approx 0{,}4772;$$
д)
$$P(4950\le k\le 5050)\approx 0{,}6826;$$
е)
$$P(4800\le k\le 5100)\approx 0{,}9772.$$
Ответ
$$p(1)=0,\quad p(x)=\frac34(x-1)(3-x),\ x\in[1;3],$$
$$P(1\le U\le 3)=1,\quad P(-3\le U\le 2)=\frac12,\quad P(U<1{,}5)=\frac{5}{32}.$$
Для числа девочек среди $$10000$$ новорождённых: а) $$0$$; б) $$0{,}5$$; в) $$1$$; г) $$0{,}4772$$; д) $$0{,}6826$$; е) $$0{,}9772$$.
