Упр.26.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Непрерывная функция $$y=p(x)$$ плотности распределения случайной величины $$R$$ равна нулю вне отрезка $$[0;5]$$, постоянна на отрезке $$[1;3]$$ и линейна на отрезках $$[0;1]$$ и $$[3;5]$$. Выполните задание:
а) постройте её график;
б) задайте её уравнением на отрезке $$[3;5]$$;
в) найдите вероятность $$P(0\leq R\leq 2)$$;
г) найдите вероятность $$P(1\leq R\leq 3)$$;
д) найдите вероятность $$P(2\leq R\leq 5)$$;
е) найдите число $$a$$, для которого $$P(0\leq R\leq a)=0{,}5$$.
26.6. После успешного прохождения первого уровня компьютерной игры на мониторе запускается лотерейный барабан, в котором 2 белых и 8 чёрных одинаковых по размеру шаров. Если выпадает белый шар, то игрок переходит сразу на третий уровень и это — «успех». Если выпадает чёрный шар, то игрок переходит на второй уровень и это — «неудача». Для $$n=2500$$ повторений найдите:
а) среднее $$np$$;
б) среднее квадратическое $$\sqrt{npq}$$;
в) вероятность $$P_n(k\leq 700)$$;
г) вероятность $$P_n(k\leq 250)$$;
д) вероятность $$P_n(500\leq k)$$;
е) вероятность $$P_n(450\leq k\leq 550)$$.
Вероятность успеха при одном запуске барабана равна
$$p=\frac{2}{10}=0{,}2,\qquad q=1-p=0{,}8.$$
Для биномиального распределения при $$n=2500$$:
$$np=2500\cdot 0{,}2=500,$$
$$\sqrt{npq}=\sqrt{2500\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8}=\sqrt{400}=20.$$
По формуле Муавра — Лапласа:
$$P_n(k\le m)\approx \Phi\!\left(\frac{m-np}{\sqrt{npq}}\right)+0{,}5,$$
$$P_n(m\le k)\approx 0{,}5-\Phi\!\left(\frac{m-np}{\sqrt{npq}}\right),$$
$$P_n(a\le k\le b)\approx \Phi\!\left(\frac{b-np}{\sqrt{npq}}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-np}{\sqrt{npq}}\right).$$
Тогда:
$$P_n(k\le 700)\approx \Phi\!\left(\frac{700-500}{20}\right)+0{,}5=\Phi(10)+0{,}5\approx 1,$$
$$P_n(k\le 250)\approx \Phi\!\left(\frac{250-500}{20}\right)+0{,}5=\Phi(-12{,}5)+0{,}5\approx 0,$$
$$P_n(500\le k)\approx 0{,}5-\Phi\!\left(\frac{500-500}{20}\right)=0{,}5-\Phi(0)=0{,}5,$$
$$P_n(450\le k\le 550)\approx \Phi\!\left(\frac{550-500}{20}\right)-\Phi\!\left(\frac{450-500}{20}\right)=\Phi(2{,}5)-\Phi(-2{,}5).$$
Так как $$\Phi(-x)=-\Phi(x),$$ получаем
$$P_n(450\le k\le 550)\approx 2\Phi(2{,}5)\approx 2\cdot 0{,}4938=0{,}9876.$$
Ответ
а) $$500$$; б) $$20$$; в) $$1$$; г) $$0$$; д) $$0{,}5$$; е) $$0{,}9876$$.
