Упр.26.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) P(1?S?2)=0,5; г) P(1?S?2)=0,999;
б) P(1?S?2)=0,25; д) P(2?S?3)=1;
в) P(1?S?2)=0,05; е) P(2?S?3)=0. В каждом из пунктов «а» — «е» определите значения n, k, p, q и по формуле Бернулли выпишите (без вычислении) выражение для вероятности появления ровно:
а) 6 «орлов» при 16 бросаниях монеты;
б) 4 «решек» при 24 бросаниях монеты;
в) 99 нечётных чисел при 199 независимых выборах целых чисел от 0 до 9;
г) 50 чисел, кратных трём, при 500 независимых выборах целых чисел от 0 до 9;
д) 170 «неудач» при опросе 700 человек, произвольно называющих день недели, если считать «удачными» днями субботу и воскресенье;
е) 573 «удачных» из 735 бросаний кубика; «удачей» считаем выпадение 5 или 6 очков.

Для равномерно распределённой на отрезке $$[1;a]$$ случайной величины $$S$$ вероятность попадания в подотрезок равна отношению длин:

$$P(\alpha \le S \le \beta)=\frac{\beta-\alpha}{a-1}.$$

1. $$P(1 \le S \le 2)=0{,}5$$

   $$\frac{2-1}{a-1}=0{,}5$$

   $$\frac{1}{a-1}=\frac{1}{2}, \quad a-1=2, \quad a=3.$$

2. $$P(1 \le S \le 2)=0{,}25$$

   $$\frac{1}{a-1}=\frac{1}{4}, \quad a-1=4, \quad a=5.$$

3. $$P(1 \le S \le 2)=0{,}05$$

   $$\frac{1}{a-1}=\frac{1}{20}, \quad a-1=20, \quad a=21.$$

4. $$P(1 \le S \le 2)=0{,}999$$

   $$\frac{1}{a-1}=0{,}999=\frac{999}{1000}$$

   $$1000=999(a-1), \quad 999a=1999, \quad a=\frac{1999}{999}=2\frac{1}{999}.$$

5. $$P(2 \le S \le 3)=1.$$

   Так как $$S \in [1;a]$$, то для того чтобы отрезок $$[2;3]$$ целиком содержался в $$[1;a]$$, нужно $$a \ge 3$$. Но вероятность равна 1 только тогда, когда весь отрезок $$[1;a]$$ лежит внутри $$[2;3]$$, что невозможно, поскольку $$1<2$$.

   Следовательно, таких значений $$a$$ нет.

6. $$P(2 \le S \le 3)=0.$$

   Это возможно, если отрезки $$[1;a]$$ и $$[2;3]$$ не пересекаются по внутренним точкам, то есть при $$1

По формуле Бернулли вероятность появления ровно $$k$$ успехов в $$n$$ испытаниях:

$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k},$$

где $$p$$ — вероятность успеха, $$q=1-p$$.

7. 6 орлов при 16 бросаниях монеты:

   $$n=16,\quad k=6,\quad p=\frac12,\quad q=\frac12.$$

   $$P_{16}(6)=C_{16}^6\left(\frac12\right)^6\left(\frac12\right)^{10}.$$

8. 4 решки при 24 бросаниях монеты:

   $$n=24,\quad k=4,\quad p=\frac12,\quad q=\frac12.$$

   $$P_{24}(4)=C_{24}^4\left(\frac12\right)^4\left(\frac12\right)^{20}.$$

9. 99 нечётных чисел при 199 независимых выборах целых чисел от 0 до 9:

   Нечётных чисел 5 из 10, значит

   $$n=199,\quad k=99,\quad p=\frac12,\quad q=\frac12.$$

   $$P_{199}(99)=C_{199}^{99}\left(\frac12\right)^{99}\left(\frac12\right)^{100}.$$

10. 50 чисел, кратных трём, при 500 выборах чисел от 0 до 9:

    Кратных 3 среди чисел от 0 до 9: $$0,3,6,9$$, то есть 4 из 10.

    $$n=500,\quad k=50,\quad p=\frac{4}{10}=\frac25,\quad q=\frac{6}{10}=\frac35.$$

    $$P_{500}(50)=C_{500}^{50}\left(\frac25\right)^{50}\left(\frac35\right)^{450}.$$

11. 170 неудач при опросе 700 человек, если удачными считаются суббота и воскресенье:

    Вероятность удачи $$p=\frac27$$, тогда вероятность неудачи $$q=\frac57$$.

    $$n=700,\quad k=170,\quad p=\frac27,\quad q=\frac57.$$

    $$P_{700}(170)=C_{700}^{170}\left(\frac57\right)^{170}\left(\frac27\right)^{530}.$$

12. 573 удачных броска кубика из 735, если удача — выпадение 5 или 6 очков:

    $$n=735,\quad k=573,\quad p=\frac26=\frac13,\quad q=\frac46=\frac23.$$

    $$P_{735}(573)=C_{735}^{573}\left(\frac13\right)^{573}\left(\frac23\right)^{162}.$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$5$$; в) $$21$$; г) $$2\frac{1}{999}$$; д) таких значений нет; е) $$1<a\le 2$$.

Формулы Бернулли:

а) $$P_{16}(6)=C_{16}^6\left(\frac12\right)^6\left(\frac12\right)^{10}$$;

б) $$P_{24}(4)=C_{24}^4\left(\frac12\right)^4\left(\frac12\right)^{20}$$;

в) $$P_{199}(99)=C_{199}^{99}\left(\frac12\right)^{99}\left(\frac12\right)^{100}$$;

г) $$P_{500}(50)=C_{500}^{50}\left(\frac25\right)^{50}\left(\frac35\right)^{450}$$;

д) $$P_{700}(170)=C_{700}^{170}\left(\frac57\right)^{170}\left(\frac27\right)^{530}$$;

е) $$P_{735}(573)=C_{735}^{573}\left(\frac13\right)^{573}\left(\frac23\right)^{162}$$.