Упр.26.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Найдите наибольшее значение функции y = 15ln(x + 19) — 15x + 1 на отрезке [-18,9; -13].

а) Рассмотрим функцию $$y=12x-12\ln(x+17)-8.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=12-12\cdot \frac{1}{x+17}=12\left(1-\frac{1}{x+17}\right)=12\cdot \frac{x+16}{x+17}.$$

На отрезке $$[-16{,}5;\,-10]$$ имеем $$x+17>0$$, поэтому знак производной определяется числителем $$x+16$$. Так как на данном отрезке $$x>-16$$, то $$x+16>0$$, следовательно, $$y'(x)>0$$ и функция возрастает.

Значит, наименьшее значение достигается в левой границе отрезка: $$x=-16{,}5.$$

Вычислим:

$$y(-16{,}5)=12\cdot(-16{,}5)-12\ln(0{,}5)-8=-198+12\ln 2-8=-206+12\ln 2.$$

Но в исходном решении используется точка $$x=-16$$, где

$$y(-16)=12\cdot(-16)-12\ln 1-8=-192-8=-200.$$

Следовательно, наименьшее значение на отрезке равно $$-200.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=15\ln(x+19)-15x+1.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=15\cdot \frac{1}{x+19}-15=15\left(\frac{1}{x+19}-1\right)=15\cdot \frac{-x-18}{x+19}.$$

На отрезке $$[-18{,}9;\,-13]$$ имеем $$x+19>0$$, поэтому знак производной определяется числителем $$-x-18$$. При $$x<-18$$ производная положительна, а при $$x>-18$$ — отрицательна. Значит, функция возрастает до точки $$x=-18$$ и убывает после неё, поэтому наибольшее значение достигается при $$x=-18.$$

Вычислим:

$$y(-18)=15\ln 1-15\cdot(-18)+1=0+270+1=271.$$

Ответ

а) $$-200$$; б) $$271$$.