Упр.26.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Для следующих нормально распределённых случайных величин найдите вероятность того, что их значения окажутся в отрезке $$[0;1]$$: а) $$N(0;1)$$; в) $$N(1;1)$$; д) $$N(3;2)$$; б) $$N(0;2)$$; г) $$N(-1;1)$$; е) $$N(10;2)$$.

Для нормально распределённой случайной величины $$X \sim N(\mu;\sigma)$$ вероятность попадания в отрезок $$[0;1]$$ находим по формуле

$$P(0 \le X \le 1)=\Phi\!\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{0-\mu}{\sigma}\right),$$

где $$\Phi(x)$$ — функция Лапласа.

1. $$X \sim N(0;1)$$

   $$z_1=\frac{0-0}{1}=0,\qquad z_2=\frac{1-0}{1}=1$$

   $$P=\Phi(1)-\Phi(0)=0{,}3413-0=0{,}3413.$$

2. $$X \sim N(0;2)$$

   $$z_1=\frac{0-0}{2}=0,\qquad z_2=\frac{1-0}{2}=0{,}5$$

   $$P=\Phi(0{,}5)-\Phi(0)=0{,}1915-0=0{,}1915.$$

3. $$X \sim N(1;1)$$

   $$z_1=\frac{0-1}{1}=-1,\qquad z_2=\frac{1-1}{1}=0$$

   $$P=\Phi(0)-\Phi(-1)=0+0{,}3413=0{,}3413.$$

4. $$X \sim N(-1;1)$$

   $$z_1=\frac{0-(-1)}{1}=1,\qquad z_2=\frac{1-(-1)}{1}=2$$

   $$P=\Phi(2)-\Phi(1)=0{,}4772-0{,}3413=0{,}1359.$$

5. $$X \sim N(3;2)$$

   $$z_1=\frac{0-3}{2}=-1{,}5,\qquad z_2=\frac{1-3}{2}=-1$$

   $$P=\Phi(-1)-\Phi(-1{,}5)=-0{,}3413+0{,}4332=0{,}0919.$$

6. $$X \sim N(10;2)$$

   $$z_1=\frac{0-10}{2}=-5,\qquad z_2=\frac{1-10}{2}=-4{,}5$$

   $$P=\Phi(-4{,}5)-\Phi(-5)\approx 0.$$

Ответ

а) $$0{,}3413$$; б) $$0{,}1915$$; в) $$0{,}3413$$; г) $$0{,}1359$$; д) $$0{,}0919$$; е) $$0$$.