Упр.26.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) P(0?S?1); г) P(-1,5?S?-0,5);
б) P(1?S?2); д) P(-3?S?1,3);
в) P(-2?S?1); е) P(-0,11?S?0,22). а) Постройте график функции y=x^4-4x^3+4x^2.
б) Найдите значения а, при которых уравнение x^4-4x^3+4x^2=a имеет ровно три корня.

Подробный ответ

Пусть $$S \sim N(0;1).$$ Тогда для стандартного нормального распределения используем табличную функцию $$\Phi(x).$$

$$P(0 \le S \le 1)=\Phi(1)-\Phi(0)=0{,}3413-0=0{,}3413.$$
$$P(1 \le S \le 2)=\Phi(2)-\Phi(1)=0{,}4772-0{,}3413=0{,}1359.$$
$$P(-2 \le S \le 1)=\Phi(2)+\Phi(1)=0{,}4772+0{,}3413=0{,}8185.$$
$$P(-1{,}5 \le S \le -0{,}5)=\Phi(1{,}5)-\Phi(0{,}5)=0{,}4332-0{,}1915=0{,}6247.$$
$$P(-3 \le S \le 1{,}3)=\Phi(3)+\Phi(1{,}3)=0{,}4987+0{,}4032=0{,}9019.$$
$$P(-0{,}11 \le S \le 0{,}22)=\Phi(0{,}22)+\Phi(0{,}11)=0{,}0871+0{,}0438=0{,}1309.$$

Рассмотрим функцию $$y=x^4-4x^3+4x^2.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=4x^3-12x^2+8x=4x(x^2-3x+2)=4x(x-1)(x-2).$$

Критические точки: $$x=0,\;1,\;2.$$

Значения функции в них:

$$y(0)=0,\quad y(1)=1,\quad y(2)=0.$$

Следовательно, график проходит через точки $$\,(0,0),\,(1,1),\,(2,0)\,$$ и имеет вид «W»: убывает на $$(-\infty,0)$$ и $$ (1,2),$$ возрастает на $$ (0,1)$$ и $$ (2,+\infty).$$

Чтобы уравнение

$$x^4-4x^3+4x^2=a$$

имело ровно три корня, прямая $$y=a$$ должна касаться графика в одной из точек экстремума и пересекать его ещё в двух точках. Это возможно только при

$$a=1.$$