Упр.26.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Для случайной величины $$S$$ со стандартным нормальным распределением $$S\sim N(0;1)$$ по графику функции её плотности сравните вероятности и в ответе укажите меньшую из них:
а) $$P(S\ ?\ 0)$$ и $$P(S\ ?\ 0{,}1)$$;
б) $$P(-1\ ?\ S\ ?\ 1)$$ и $$P(-2\ ?\ S\ ?\ 2)$$;
в) $$P(-3\ ?\ S\ ?\ 1)$$ и $$P(-2\ ?\ S\ ?\ 2)$$;
г) $$P(S\ ?\ 0)$$ и $$P(S\ ?\ 0{,}2)$$;
д) $$P(S=0)$$ и $$P(S<-1000)$$;
е) $$P(-2\ ?\ S\ ?\ 0)$$ и $$P(-1\ ?\ S\ ?\ 1)$$.
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на указанном отрезке:
а) $$y=(10-x)e^{x-9},\ [8;10]$$;
б) $$y=4x-\ln(x+2)^4,\ [-1;0]$$;
в) $$y=\cos(3x)-3x+?,\ [-?/3;0]$$;
г) $$y=(x+3)e^{2-x},\ [-3;2]$$;
д) $$y=\ln(x+4)^3-3x,\ (-4;0]$$;
е) $$y=4x-\sin(4x)+1,\ [-?/4;0]$$.

Подробный ответ

Для стандартного нормального распределения плотность симметрична относительно нуля, поэтому:

чем шире промежуток, тем больше вероятность;
для симметричных промежутков вероятности сравниваются по длине;
для непрерывной случайной величины $$P(S=0)=0.$$

Тогда получаем:

$$P(S\le 0)<P(S\le 0{,}1).$$
$$P(-1\le S\le 1)<P(-2\le S\le 2).$$
$$P(-3\le S\le 1)>P(-2\le S\le 2).$$
$$P(S\ge 0)>P(S\ge 0{,}2).$$
$$P(S=0)>P(S<-1000),$$ так как $$P(S=0)=0,$$ а $$P(S<-1000)=0.$$
$$P(-2\le S\le 0)<P(-1\le S\le 1).$$

Найдём наименьшее и наибольшее значения функций на указанных отрезках.

$$y=(10-x)e^{x-9}, \quad [8;10]$$

$$y'(x)=-e^{x-9}+(10-x)e^{x-9}=e^{x-9}(9-x).$$

Критическая точка: $$x=9.$$

$$y(8)=2e^{-1}=\frac{2}{e}, \quad y(9)=1, \quad y(10)=0.$$

$$y_{\min}=0,\quad y_{\max}=1.$$
$$y=4x-\ln (x+2)^4,\quad [-1;0]$$

Так как на отрезке $$x+2>0,$$ то $$\ln (x+2)^4=4\ln(x+2).$$

$$y'(x)=4-\frac{4}{x+2}=0,$$

$$4x+8-4=0,\quad x=-1.$$

$$y(-1)=-4,\quad y(0)=-4\ln 2.$$

$$y_{\min}=-4,\quad y_{\max}=-4\ln 2.$$
$$y=\cos 3x-3x+\pi,\quad \left[-\frac{\pi}{3};0\right]$$

$$y'(x)=-3\sin 3x-3=-3(\sin 3x+1)\le 0,$$

значит, функция убывает на отрезке.

$$y\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos(-\pi)+\pi+\pi=2\pi-1,$$

$$y(0)=1+\pi.$$

$$y_{\max}=2\pi-1,\quad y_{\min}=\pi+1.$$
$$y=(x+3)e^{2-x},\quad [-3;2]$$

$$y'(x)=e^{2-x}-(x+3)e^{2-x}=e^{2-x}(-x-2).$$

Критическая точка: $$x=-2.$$

$$y(-3)=0,\quad y(-2)=e^4,\quad y(2)=5.$$

$$y_{\min}=0,\quad y_{\max}=e^4.$$
$$y=\ln (x+4)^3-3x,\quad (-4;0]$$

На этом промежутке $$x+4>0,$$ поэтому $$\ln (x+4)^3=3\ln(x+4).$$

$$y'(x)=\frac{3}{x+4}-3.$$

$$y'(x)=0 \iff \frac{3}{x+4}=3 \iff x=-3.$$

$$y(-3)=3\ln 1+9=9,$$

$$y(0)=3\ln 4=6\ln 2.$$

Так как при $$x\to -4+$$ имеем $$y(x)\to -\infty,$$ наименьшего значения на промежутке нет.

$$y_{\max}=9.$$
$$y=4x-\sin 4x+1,\quad \left[-\frac{\pi}{4};0\right]$$

$$y'(x)=4-4\cos 4x=4(1-\cos 4x)\ge 0,$$

значит, функция возрастает на отрезке.

$$y\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\pi+1,$$

$$y(0)=1.$$

$$y_{\min}=1-\pi,\quad y_{\max}=1.$$

Ответ

а) $$P(S\le 0)<P(S\le 0{,}1)$$; б) $$P(-1\le S\le 1)<P(-2\le S\le 2)$$; в) $$P(-2\le S\le 2)<P(-3\le S\le 1)$$; г) $$P(S\ge 0{,}2)<P(S\ge 0)$$; д) $$P(S=0)=P(S<-1000)=0$$; е) $$P(-2\le S\le 0)<P(-1\le S\le 1)$$.

а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=1$$; б) $$y_{\min}=-4,\ y_{\max}=-4\ln 2$$; в) $$y_{\min}=\pi+1,\ y_{\max}=2\pi-1$$; г) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=e^4$$; д) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=9$$; е) $$y_{\min}=1-\pi,\ y_{\max}=1$$.