Упр.26.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) P(S ? 0) и P(S ? 0,1);
б) P(-1 ? S ? 1) и P(-2 ? S ? 2);
в) P(-3 ? S ? 1) и P(-2 ? S ? 2);
г) P(S ? 0) и P(S ? 0,2);
д) P(S = 0) и P(S < -1000);
е) P(-2 ? S ? 0) и P(-1 ? S ? 1). Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на указанном отрезке:
а) y=(10-x)e^(x-9), [8; 10];
б) y=4x-ln(x+2)^4, [-1; 0];
в) y=cos(3x)-3x+?, [-?/3; 0];
г) y=(x+3)e^(2-x), [-3; 2];
д) y=ln(x+4)^3-3x, (-4; 0];
е) y=4x-sin(4x)+1, [-?/4; 0].
Для стандартного нормального распределения плотность симметрична относительно нуля, поэтому:
- чем шире промежуток, тем больше вероятность;
- для симметричных промежутков вероятности сравниваются по длине;
- для непрерывной случайной величины $$P(S=0)=0.$$
Тогда получаем:
- $$P(S\le 0)<P(S\le 0{,}1).$$
- $$P(-1\le S\le 1)<P(-2\le S\le 2).$$
- $$P(-3\le S\le 1)>P(-2\le S\le 2).$$
- $$P(S\ge 0)>P(S\ge 0{,}2).$$
- $$P(S=0)>P(S<-1000),$$ так как $$P(S=0)=0,$$ а $$P(S<-1000)=0.$$
- $$P(-2\le S\le 0)<P(-1\le S\le 1).$$
Найдём наименьшее и наибольшее значения функций на указанных отрезках.
- $$y=(10-x)e^{x-9}, \quad [8;10]$$
$$y'(x)=-e^{x-9}+(10-x)e^{x-9}=e^{x-9}(9-x).$$
Критическая точка: $$x=9.$$
$$y(8)=2e^{-1}=\frac{2}{e}, \quad y(9)=1, \quad y(10)=0.$$
$$y_{\min}=0,\quad y_{\max}=1.$$ - $$y=4x-\ln (x+2)^4,\quad [-1;0]$$
Так как на отрезке $$x+2>0,$$ то $$\ln (x+2)^4=4\ln(x+2).$$
$$y'(x)=4-\frac{4}{x+2}=0,$$
$$4x+8-4=0,\quad x=-1.$$
$$y(-1)=-4,\quad y(0)=-4\ln 2.$$
$$y_{\min}=-4,\quad y_{\max}=-4\ln 2.$$ - $$y=\cos 3x-3x+\pi,\quad \left[-\frac{\pi}{3};0\right]$$
$$y'(x)=-3\sin 3x-3=-3(\sin 3x+1)\le 0,$$
значит, функция убывает на отрезке.
$$y\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos(-\pi)+\pi+\pi=2\pi-1,$$
$$y(0)=1+\pi.$$
$$y_{\max}=2\pi-1,\quad y_{\min}=\pi+1.$$ - $$y=(x+3)e^{2-x},\quad [-3;2]$$
$$y'(x)=e^{2-x}-(x+3)e^{2-x}=e^{2-x}(-x-2).$$
Критическая точка: $$x=-2.$$
$$y(-3)=0,\quad y(-2)=e^4,\quad y(2)=5.$$
$$y_{\min}=0,\quad y_{\max}=e^4.$$ - $$y=\ln (x+4)^3-3x,\quad (-4;0]$$
На этом промежутке $$x+4>0,$$ поэтому $$\ln (x+4)^3=3\ln(x+4).$$
$$y'(x)=\frac{3}{x+4}-3.$$
$$y'(x)=0 \iff \frac{3}{x+4}=3 \iff x=-3.$$
$$y(-3)=3\ln 1+9=9,$$
$$y(0)=3\ln 4=6\ln 2.$$
Так как при $$x\to -4+$$ имеем $$y(x)\to -\infty,$$ наименьшего значения на промежутке нет.
$$y_{\max}=9.$$ - $$y=4x-\sin 4x+1,\quad \left[-\frac{\pi}{4};0\right]$$
$$y'(x)=4-4\cos 4x=4(1-\cos 4x)\ge 0,$$
значит, функция возрастает на отрезке.
$$y\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\pi+1,$$
$$y(0)=1.$$
$$y_{\min}=1-\pi,\quad y_{\max}=1.$$
Ответ
а) $$P(S\le 0)<P(S\le 0{,}1)$$; б) $$P(-1\le S\le 1)<P(-2\le S\le 2)$$; в) $$P(-2\le S\le 2)<P(-3\le S\le 1)$$; г) $$P(S\ge 0{,}2)<P(S\ge 0)$$; д) $$P(S=0)=P(S<-1000)=0$$; е) $$P(-2\le S\le 0)<P(-1\le S\le 1)$$.
а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=1$$; б) $$y_{\min}=-4,\ y_{\max}=-4\ln 2$$; в) $$y_{\min}=\pi+1,\ y_{\max}=2\pi-1$$; г) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=e^4$$; д) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=9$$; е) $$y_{\min}=1-\pi,\ y_{\max}=1$$.
