Упр.26.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Для выполнения упражнений 25.6—25.10 используйте таблицу значений функции Лапласа $$y=\Phi(x)$$ (см. приложение).
25.7. Найдите: а) $$\Phi(0{,}12)$$; б) $$\Phi(-0{,}34)$$; в) $$\Phi(0{,}56)$$; г) $$\Phi(-0{,}78)$$; д) $$\Phi(1{,}78)$$; е) $$\Phi(-2{,}88)$$.
26.10. В каждом из $$150$$ контейнеров лежат $$10$$ одинаковых по виду коробок, в $$4$$ из которых — синие новогодние шары, а в $$6$$ — красные. Из каждого контейнера наудачу выбирают одну коробку. Найдите вероятность того, что коробок с синими шарами среди выбранных будет ровно: а) $$6$$; б) $$36$$; в) $$136$$; г) $$60$$; д) $$64$$; е) $$52$$.

Подробный ответ

Пусть в каждом контейнере вероятность выбрать коробку с синими шарами равна

$$p=\frac{4}{10}=0{,}4,\qquad q=1-p=0{,}6.$$

Тогда число выбранных коробок с синими шарами среди $$150$$ контейнеров можно приближённо считать по формуле Муавра — Лапласа:

$$P_{150}(k)=\Phi\!\left(\frac{k+0{,}5-np}{\sqrt{npq}}\right)-\Phi\!\left(\frac{k-0{,}5-np}{\sqrt{npq}}\right),$$

где

$$np=150\cdot 0{,}4=60,\qquad \sqrt{npq}=\sqrt{150\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6}=6.$$

а) $$k=6$$:

$$P_{150}(6)=\Phi\!\left(\frac{6+0{,}5-60}{6}\right)-\Phi\!\left(\frac{6-0{,}5-60}{6}\right)\approx \Phi(9{,}1)-\Phi(8{,}2)\approx 0.$$

б) $$k=36$$:

$$P_{150}(36)=\Phi\!\left(\frac{36+0{,}5-60}{6}\right)-\Phi\!\left(\frac{36-0{,}5-60}{6}\right)\approx \Phi(4{,}1)-\Phi(3{,}9)\approx 0.$$

в) $$k=136$$:

$$P_{150}(136)=\Phi\!\left(\frac{136+0{,}5-60}{6}\right)-\Phi\!\left(\frac{136-0{,}5-60}{6}\right)\approx \Phi(12{,}8)-\Phi(12{,}6)\approx 0.$$

г) $$k=60$$:

$$P_{150}(60)=\Phi\!\left(\frac{60+0{,}5-60}{6}\right)-\Phi\!\left(\frac{60-0{,}5-60}{6}\right)\approx \Phi(0{,}08)-\Phi(-0{,}08).$$

Так как функция Лапласа нечётная, то

$$\Phi(0{,}08)-\Phi(-0{,}08)=2\Phi(0{,}08)\approx 2\cdot 0{,}0319=0{,}0638.$$

д) $$k=64$$:

$$P_{150}(64)=\Phi\!\left(\frac{64+0{,}5-60}{6}\right)-\Phi\!\left(\frac{64-0{,}5-60}{6}\right)\approx \Phi(0{,}75)-\Phi(0{,}58)\approx 0{,}2734-0{,}2190=0{,}0544.$$

е) $$k=52$$:

$$P_{150}(52)=\Phi\!\left(\frac{52+0{,}5-60}{6}\right)-\Phi\!\left(\frac{52-0{,}5-60}{6}\right)\approx \Phi(1{,}42)-\Phi(1{,}25)\approx 0{,}4222-0{,}3944=0{,}0278.$$