Упр.25.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) в круге x^2+y^2?25;
б) во второй координатной четверти;
в) в треугольнике, образованном средними линиями ?OAB;
г) правее прямой x=3;
д) ниже прямой y=2;
е) левее прямой x=3 и ниже прямой y=2? Для случайной величины S со стандартным нормальным распределением S ~ N(0; 1) найдите:
а) P(0?S?1); г) P(-1,5?S?-0,5);
б) P(1?S?2); д) P(-3?S?1,3);
в) P(-2?S?1); е) P(-0,11?S?0,22).

Площадь прямоугольного треугольника $$OAB$$:

$$S_{\triangle OAB}=\frac12\cdot 3\cdot 4=6.$$

1. а) Круг $$x^2+y^2\le 25$$ с центром в точке $$O(0;0)$$ и радиусом $$5$$ полностью содержит треугольник $$OAB$$, так как все его точки лежат в первой четверти и имеют координаты $$0\le x\le 4,$$ $$0\le y\le 3.$$

   Значит,

   $$P= \frac{6}{6}=1.$$

2. б) Во второй координатной четверти точек треугольника нет, поэтому

   $$P=0.$$

3. в) Треугольник, образованный средними линиями, подобен исходному с коэффициентом $$\frac12$$, значит его площадь равна

   $$S=\frac14\cdot 6=\frac32.$$

   Тогда

   $$P=\frac{\frac32}{6}=\frac14=0{,}25.$$

4. г) Правее прямой $$x=3$$ находится часть треугольника с основанием $$4-3=1$$ и высотой $$\frac34$$:

   $$S=\frac12\cdot 1\cdot \frac34=\frac38.$$

   Следовательно,

   $$P=\frac{\frac38}{6}=\frac1{16}.$$

5. д) Ниже прямой $$y=2$$ лежит часть треугольника, не попадающая в верхнюю маленькую подобную часть. Удобнее найти площадь верхнего треугольника с высотой $$3-2=1$$ и основанием $$\frac43$$:

   $$S_{\text{верх}}=\frac12\cdot \frac43\cdot 1=\frac23.$$

   Тогда

   $$P=1-\frac{\frac23}{6}=1-\frac19=\frac89.$$

6. е) Левее прямой $$x=3$$ и ниже прямой $$y=2$$ — это весь треугольник без двух маленьких частей: правой и верхней. Их площади равны

   $$S_1=\frac38,\qquad S_2=\frac23.$$

   Тогда

   $$P=1-\frac{\frac38+\frac23}{6}=1-\frac{25}{144}=\frac{119}{144}.$$

Для случайной величины $$S\sim N(0;1)$$ используем таблицу функции Лапласа $$\Phi(x)$$.

2. а)

   $$P(0\le S\le 1)=\Phi(1)-\Phi(0)=0{,}3413.$$

3. б)

   $$P(1\le S\le 2)=\Phi(2)-\Phi(1)=0{,}4772-0{,}3413=0{,}1359.$$

4. в)

   $$P(-2\le S\le 1)=\Phi(2)+\Phi(1)=0{,}4772+0{,}3413=0{,}8185.$$

5. г)

   $$P(-1{,}5\le S\le -0{,}5)=\Phi(1{,}5)-\Phi(0{,}5)=0{,}4332-0{,}1915=0{,}6247.$$

6. д)

   $$P(-3\le S\le 1{,}3)=\Phi(3)+\Phi(1{,}3)=0{,}4987+0{,}4032=0{,}9019.$$

7. е)

   $$P(-0{,}11\le S\le 0{,}22)=\Phi(0{,}22)+\Phi(0{,}11)=0{,}0871+0{,}0438=0{,}1309.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$0$$; в) $$0{,}25$$; г) $$\frac1{16}$$; д) $$\frac89$$; е) $$\frac{119}{144}$$; для нормального распределения: а) $$0{,}3413$$; б) $$0{,}1359$$; в) $$0{,}8185$$; г) $$0{,}6247$$; д) $$0{,}9019$$; е) $$0{,}1309$$.