Упр.25.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Наудачу выбирают число $$x$$ из отрезка $$[0;10]$$ и для положительного параметра $$a$$ рассматривают события $$A$$ — «$$0\le x\le a+1$$», $$B$$ — «$$a\le x\le 10$$». Найдите все значения $$a$$, при которых: а) $$P(A)<0{,}5$$; б) $$P(AB)<0{,}1$$; в) $$A$$ и $$B$$ — независимые события; г) $$P(B)>0{,}9$$; д) $$P(B)\le 0{,}1$$; е) $$A$$ и $$\overline{B}$$ — независимые события.
Для выполнения упражнений 25.6—25.10 используйте таблицу значений функции Лапласа $$y=\Phi(x)$$ (см. приложение).
25.6. Найдите: а) $$\Phi(0)$$; б) $$\Phi(1)$$; в) $$\Phi(2)$$; г) $$\Phi(0{,}5)$$; д) $$\Phi(1{,}5)$$; е) $$\Phi(2{,}5)$$.

Подробный ответ

Для равномерно распределённой на отрезке $$[0;10]$$ случайной величины $$x$$ вероятность события равна отношению длины благоприятного промежутка к длине всего отрезка.

События:

$$A:\ 0 \le x \le a+1,$$

$$B:\ a \le x \le 10,$$

где $$a>0.$$

$$P(A)=\frac{a+1-0}{10-0}=\frac{a+1}{10}.$$
Тогда
$$\frac{a+1}{10}<0{,}5,$$
$$a+1<5,$$
$$a<4.$$
С учётом $$a>0$$ получаем:
$$a\in(0;4).$$
Пересечение событий $$A$$ и $$B$$: $$a \le x \le a+1,$$ поэтому
$$P(AB)=\frac{(a+1)-a}{10}=\frac{1}{10}=0{,}1.$$
Требуется $$P(AB)<0{,}1,$$ но это невозможно.
Следовательно, решений нет.
Найдём вероятности:
$$P(A)=\frac{a+1}{10}, \qquad P(B)=\frac{10-a}{10}, \qquad P(AB)=\frac{1}{10}.$$
Для независимости событий должно выполняться
$$P(AB)=P(A)\cdot P(B).$$
Тогда
$$\frac{1}{10}=\frac{a+1}{10}\cdot\frac{10-a}{10},$$
$$10=(a+1)(10-a),$$
$$10=10a-a^2+10-a,$$
$$a^2-9a=0,$$
$$a(a-9)=0.$$
Так как $$a>0,$$ получаем $$a=9.$$
При $$a=9$$ события действительно независимы.
$$a=9.$$
$$P(B)=\frac{10-a}{10}>0{,}9,$$
$$10-a>9,$$
$$a<1.$$
С учётом $$a>0$$:
$$a\in(0;1).$$
$$P(B)=\frac{10-a}{10}\le 0{,}1,$$
$$10-a\le 1,$$
$$a\ge 9.$$
С учётом $$a>0$$:
$$a\in[9;+\infty).$$
Для события $$\overline{B}$$ имеем
$$P(\overline{B})=\frac{a-0}{10}=\frac{a}{10}.$$
События $$A$$ и $$\overline{B}$$ независимы, если
$$P(A\overline{B})=P(A)\cdot P(\overline{B}).$$
Пересечение $$A$$ и $$\overline{B}$$: $$0 \le x \le a,$$ значит
$$P(A\overline{B})=\frac{a}{10}.$$
Тогда
$$\frac{a}{10}=\frac{a+1}{10}\cdot\frac{a}{10},$$
$$10a=a(a+1),$$
$$a^2-9a=0,$$
$$a(a-9)=0.$$
Так как $$a>0,$$ получаем $$a=9.$$
При $$a=9$$ условие выполняется.
$$a=9.$$