Упр.25.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) острым; г) тупым;
б) прямым; д) больше чем 45°;
в) меньше чем 135°; е) больше чем ?-arctg(0,1)? Случайная величина S равномерно распределена на отрезке [1; а], а>1. Найдите все значения а, при которых:
а) P(1?S?2)=0,5; г) P(1?S?2)=0,999;
б) P(1?S?2)=0,25; д) P(2?S?3)=1;
в) P(1?S?2)=0,05; е) P(2?S?3)=0.

1) Вероятности для точки на отрезке

Точка $$C$$ равномерно выбирается на отрезке $$AB$$, где $$A(0;-2)$$, $$B(0;8)$$. Значит, координата $$C$$ имеет вид $$C(0;a)$$, где $$-2 \le a \le 8$$, а вероятность события равна отношению длины соответствующего промежутка к длине всего отрезка:

$$|AB|=8-(-2)=10.$$

Прямая $$CB$$ проходит через точки $$C(0;a)$$ и $$B(1;0)$$. Её угловой коэффициент:

$$k=\frac{0-a}{1-0}=-a.$$

Угол $$\beta$$ между лучом и положительным направлением оси ординат связан с наклоном прямой так, что нужные условия на угол переводятся в условия на $$a$$.

а) Угол острый

$$-2<a<0.$$

Тогда

$$P=\frac{0-(-2)}{10}=\frac{2}{10}=0{,}2.$$

б) Угол прямой

$$a=0.$$

Это одна точка, поэтому

$$P=0.$$

в) Угол меньше $$135^\circ$$

$$-2<a<1.$$

Тогда

$$P=\frac{1-(-2)}{10}=\frac{3}{10}=0{,}3.$$

г) Угол тупой

$$0<a<8.$$

Тогда

$$P=\frac{8-0}{10}=\frac{8}{10}=0{,}8.$$

д) Угол больше $$45^\circ$$

$$-1<a<8.$$

Тогда

$$P=\frac{8-(-1)}{10}=\frac{9}{10}=0{,}9.$$

е) Угол больше $$\pi-\arctg 0{,}1$$

Найдём соответствующее значение углового коэффициента:

$$\tg\left(\frac{3\pi}{2}-\pi+\arctg 0{,}1\right)=\tg\left(\frac{\pi}{2}+\arctg 0{,}1\right)=-\ctg(\arctg 0{,}1)=-\frac{1}{0{,}1}=-10.$$

Значит, нужно $$a>10$$, но на отрезке $$-2 \le a \le 8$$ таких точек нет. Поэтому

$$P=0.$$

2) Случайная величина $$S$$ равномерно распределена на $$[1;a]$$, $$a>1$$

Для равномерного распределения

$$P(\alpha \le S \le \beta)=\frac{\beta-\alpha}{a-1}.$$

а) $$P(1 \le S \le 2)=0{,}5$$

$$\frac{2-1}{a-1}=\frac12,$$

$$\frac{1}{a-1}=\frac12,$$

$$a-1=2,\quad a=3.$$

б) $$P(1 \le S \le 2)=0{,}25$$

$$\frac{1}{a-1}=\frac14,$$

$$a-1=4,\quad a=5.$$

в) $$P(1 \le S \le 2)=0{,}05$$

$$\frac{1}{a-1}=\frac1{20},$$

$$a-1=20,\quad a=21.$$

г) $$P(1 \le S \le 2)=0{,}999$$

$$\frac{1}{a-1}=\frac{999}{1000},$$

$$1000=999(a-1),$$

$$999a=1999,\quad a=\frac{1999}{999}=2\frac{1}{999}.$$

д) $$P(2 \le S \le 3)=1$$

Это невозможно, так как отрезок $$[1;a]$$ должен целиком лежать внутри $$[2;3]$$, но при $$a>1$$ вероятность равна 1 только если весь промежуток распределения совпадает с событием. Здесь такого быть не может.

е) $$P(2 \le S \le 3)=0$$

Нужно, чтобы отрезок $$[1;a]$$ не пересекался с $$[2;3]$$, то есть

$$1<a\le 2.$$

Ответ

1) а) $$0{,}2$$; б) $$0$$; в) $$0{,}3$$; г) $$0{,}8$$; д) $$0{,}9$$; е) $$0$$.

2) а) $$3$$; б) $$5$$; в) $$21$$; г) $$2\frac{1}{999}$$; д) нет; е) $$1<a\le 2$$.