Упр.25.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Найдите, при каких значениях m функция y = -x^2 — |x — m^4| — 5x имеет три точки экстремума.

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$y=-x^2-|x-m^4|-5x.$$

Так как $$m^4\ge 0,$$ то точка разбиения для модуля одна: $$x=m^4.$$

1) Если $$x>m^4,$$ то $$|x-m^4|=x-m^4,$$ и

$$y=-x^2-(x-m^4)-5x=-x^2-6x+m^4.$$

Тогда

$$y’=-2x-6.$$

Критическая точка:

$$-2x-6=0,\quad x=-3.$$

Чтобы эта точка принадлежала промежутку $$x>m^4,$$ нужно

$$-3>m^4,$$

что невозможно, так как $$m^4\ge 0.$$

Значит, на этом промежутке точек экстремума нет.

2) Если $$x<m^4,$$ то $$|x-m^4|=m^4-x,$$ и

$$y=-x^2-(m^4-x)-5x=-x^2-4x-m^4.$$

Тогда

$$y’=-2x-4.$$

Критическая точка:

$$-2x-4=0,\quad x=-2.$$

Чтобы эта точка принадлежала промежутку $$x<m^4,$$ нужно

$$-2<m^4,$$

что также всегда верно, так как $$m^4\ge 0.$$

Следовательно, на каждом из двух промежутков есть по одной точке экстремума. Чтобы всего было три точки экстремума, нужно, чтобы точка разбиения $$x=m^4$$ тоже была точкой экстремума. Это возможно, когда в ней меняется знак производной слева и справа.

Слева от $$x=m^4$$ имеем $$y’=-2x-4,$$ справа — $$y’=-2x-6.$$

В точке $$x=m^4$$ должны выполняться условия:

$$-2m^4-4>0,\qquad -2m^4-6<0.$$

Отсюда

$$m^4<2,\qquad m^4>3.$$

Получаем

$$3<m^4<2,$$

что невозможно. Значит, в исходной записи решения допущена ошибка в знаке перед $$x^2$$. Для функции из задания

$$y=-x^2-|x-m^4|-5x$$

три точки экстремума не возникают ни при каком $$m.$$