Упр.25.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите значение выражения:
а) $$\frac{8\sin(23^\circ)\cos(23^\circ)}{\cos(24^\circ)\cos(20^\circ)-\sin(24^\circ)\sin(20^\circ)}$$;
б) $$\frac{\sin(100^\circ)\cos(18^\circ)-\cos(100^\circ)\sin(18^\circ)}{10\cos(49^\circ)\sin(49^\circ)}$$.
а) Используем формулы приведения и преобразования произведения в сумму:
$$\frac{8\sin 23^\circ \cos 23^\circ}{\cos 24^\circ \cos 20^\circ-\sin 24^\circ \sin 20^\circ} = \frac{4\sin 46^\circ}{\cos(24^\circ+20^\circ)} = \frac{4\sin 46^\circ}{\cos 44^\circ}.$$
Так как $$\sin 46^\circ=\cos 44^\circ,$$ то
$$\frac{4\sin 46^\circ}{\cos 44^\circ}=4.$$
б) Преобразуем числитель и знаменатель:
$$\frac{\sin 100^\circ \cos 18^\circ-\cos 100^\circ \sin 18^\circ}{10\cos 49^\circ \sin 49^\circ} = \frac{\sin(100^\circ-18^\circ)}{10\cos 49^\circ \sin 49^\circ} = \frac{\sin 82^\circ}{10\cos 49^\circ \sin 49^\circ}.$$
Используем формулу $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$:
$$10\cos 49^\circ \sin 49^\circ=5\sin 98^\circ.$$
Тогда
$$\frac{\sin 82^\circ}{5\sin 98^\circ} = \frac{\sin(90^\circ-8^\circ)}{5\sin(90^\circ+8^\circ)} = \frac{\cos 8^\circ}{5\cos 8^\circ} = \frac{1}{5}=0{,}2.$$
Ответ
а) $$4$$; б) $$0{,}2$$.
