Упр.25.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) P(K) = 1; г) P(K) > 0,75;
б) P(L) = 0,5; д) P(L) ? 0,05;
в) K и L — независимые события; е) P(!K · !L) < 0,01.

Подробный ответ

Обозначим ребро куба через $$BB’=x,$$ тогда объём куба равен $$V_{\text{куба}}=x^3.$$

Точка $$E$$ делит ребро $$BB’$$ в отношении $$BE:a\cdot EB’,$$ значит

$$BE=\frac{a}{a+1}x.$$

Событие $$K$$: точка $$X$$ лежит выше плоскости $$ADE$$. Тогда соответствующая часть куба — пирамида с основанием $$ABCD$$ и высотой, равной расстоянию от точки $$E$$ до нижней грани. Её объём:

$$V_K=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot BE=\frac12\cdot x\cdot x\cdot \frac{a}{a+1}x=\frac{ax^3}{2(a+1)}.$$

Следовательно,

$$P(K)=\frac{V_K}{V_{\text{куба}}}=\frac{a}{2(a+1)}.$$

Событие $$L$$: точка $$X$$ принадлежит пирамиде $$EABC$$. Тогда

$$V_L=\frac13\cdot \frac12\cdot AB\cdot BC\cdot BE=\frac13\cdot \frac12\cdot x\cdot x\cdot \frac{a}{a+1}x=\frac{ax^3}{6(a+1)},$$

и потому

$$P(L)=\frac{V_L}{V_{\text{куба}}}=\frac{a}{6(a+1)}.$$

$$P(K)=1.$$
$$\frac{a}{2(a+1)}=1 \Rightarrow a=2a+2 \Rightarrow a=-2.$$
Но по условию $$a>0$$, значит таких значений нет.
$$P(L)=0{,}5.$$
$$\frac{a}{6(a+1)}=\frac12 \Rightarrow 2a=6a+6 \Rightarrow a=-\frac32.$$
При $$a>0$$ решений нет.
События $$K$$ и $$L$$ независимы, если
$$P(K\cdot L)=P(K)\cdot P(L).$$
Но $$L\subset K,$$ значит $$P(K\cdot L)=P(L).$$ Тогда
$$P(K)\cdot P(L)=P(L).$$
Так как $$P(L)>0$$ при $$a>0,$$ получаем $$P(K)=1,$$ а это невозможно. Следовательно, таких $$a$$ нет.
$$P(K)>0{,}75.$$
$$\frac{a}{2(a+1)}>\frac34 \Rightarrow 2a>3a+3 \Rightarrow a<-3.$$
При $$a>0$$ решений нет.
$$P(L)\ge 0{,}05.$$
$$\frac{a}{6(a+1)}\ge \frac1{20} \Rightarrow 20a\ge 6a+6 \Rightarrow 14a\ge 6 \Rightarrow a\ge \frac37.$$
$$P(\overline K\cdot \overline L)<0{,}01.$$
Так как $$L\subset K,$$ то $$\overline K\cdot \overline L=\overline K,$$ и
$$P(\overline K)=1-P(K)=1-\frac{a}{2(a+1)}=\frac{a+2}{2(a+1)}.$$
Тогда
$$\frac{a+2}{2(a+1)}<\frac1{100} \Rightarrow 50(a+2)<a+1 \Rightarrow 49a<-99.$$
При $$a>0$$ решений нет.