Упр.25.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Наудачу выбирают точку из «снеговика» — трёх шаров, радиус нижнего из которых равен $$3$$, радиус касающегося с ним внешним образом среднего шара равен $$2$$, радиус верхнего шара, который касается внешним образом среднего, равен $$1$$; центры шаров расположены на одной прямой. Какова вероятность того, что эта точка окажется: а) не точкой касания шаров; б) на поверхности «снеговика»; в) в верхнем шаре; г) в нижнем шаре; д) или в нижнем, или в среднем шаре; е) не в среднем шаре?
Объём «снеговика» равен сумме объёмов трёх шаров радиусов $$3,$$ $$2$$ и $$1$$:
$$V=\frac{4}{3}\pi(3^3+2^3+1^3)=\frac{4}{3}\pi(27+8+1)=\frac{4}{3}\pi\cdot 36=48\pi.$$
Точки касания шаров имеют нулевой объём, поэтому вероятность попасть в точку касания равна $$0$$.
Не точка касания шаров:
$$P=1.$$
На поверхности «снеговика»:
Поверхность имеет нулевой объём, значит
$$P=0.$$
В верхнем шаре:
$$P=\frac{\frac{4}{3}\pi\cdot 1^3}{48\pi}=\frac{\frac{4}{3}\pi}{48\pi}=\frac{1}{36}.$$
В нижнем шаре:
$$P=\frac{\frac{4}{3}\pi\cdot 3^3}{48\pi}=\frac{\frac{4}{3}\pi\cdot 27}{48\pi}=\frac{3}{4}.$$
Или в нижнем, или в среднем шаре:
$$P=\frac{\frac{4}{3}\pi(27+8)}{48\pi}=\frac{35}{36}.$$
Не в среднем шаре:
$$P=\frac{\frac{4}{3}\pi(27+1)}{48\pi}=\frac{7}{9}.$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$0$$; в) $$\frac{1}{36}$$; г) $$\frac{3}{4}$$; д) $$\frac{35}{36}$$; е) $$\frac{7}{9}$$.
