Упр.25.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) вершиной кубика;
б) внутри, т. е. не на поверхности кубика;
в) на диагонали кубика;
г) в одном из угловых кубиков 1 x 1;
д) в кубике 1 x 1, который не имеет общих точек с поверхностью куба 3 x 3;
е) в одном из кубиков 1 х 1, у которых ровно одна грань расположена на поверхности куба? Найдите значение выражения:
а) 15·6^(2log_6(4))+log_3(54)-log_3(2);
б) log_12(3)+log_12(48)-10·5^(3log_5(2));
в) 4·10^(2/log_5(10))+log_2(81)/log_2(3);
г) 5·3^(2/lg(3))-log_0,5(100)/log_0,5(0,1).

Подробный ответ

Рассмотрим кубик $3 \times 3 \times 3$. Всего в нём $$3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$$ точек.

Вершин у куба 8, но в условии речь идёт о случайно выбранной точке среди всех 27 точек кубика. Вершинных точек среди них нет, значит
$$P= \frac{0}{27}=0.$$
Точка внутри кубика, то есть не на поверхности, — это единственная внутренняя точка:
$$P=\frac{1}{27}.$$
На диагонали кубика среди выбранных точек таких точек нет, поэтому
$$P=\frac{0}{27}=0.$$
В угловых кубиках $1 \times 1$ находятся 8 точек, значит
$$P=\frac{8}{27}.$$
В кубике $1 \times 1$, не имеющем общих точек с поверхностью куба $3 \times 3 \times 3$, находится одна точка:
$$P=\frac{1}{27}.$$
Кубиков $1 \times 1$, у которых ровно одна грань лежит на поверхности большого куба, всего 6. Тогда
$$P=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}.$$

Ход решения

$$15 \cdot 6^{2\log_6 4}+\log_3 54-\log_3 2$$
$$15 \cdot 6^{2\log_6 4}=15 \cdot \left(6^{\log_6 4}\right)^2=15 \cdot 4^2=240,$$
$$\log_3 54-\log_3 2=\log_3 \frac{54}{2}=\log_3 27=3.$$
$$240+3=243.$$
$$\log_{12} 3+\log_{12} 48-10 \cdot 5^{3\log_5 2}$$
$$\log_{12} 3+\log_{12} 48=\log_{12}(3 \cdot 48)=\log_{12} 144=\log_{12} 12^2=2,$$
$$5^{3\log_5 2}=\left(5^{\log_5 2}\right)^3=2^3=8.$$
$$2-10 \cdot 8=2-80=-78.$$
$$4 \cdot 10^{\frac{2}{\log_5 10}}+\frac{\log_2 81}{\log_2 3}$$
$$\frac{2}{\log_5 10}=2\log_{10} 5,$$
поэтому
$$10^{\frac{2}{\log_5 10}}=10^{2\log_{10} 5}=\left(10^{\log_{10} 5}\right)^2=5^2=25.$$
$$\frac{\log_2 81}{\log_2 3}=\log_3 81=\log_3 3^4=4.$$
$$4 \cdot 25+4=104.$$
$$5 \cdot 3^{\frac{2}{\lg 3}}-\frac{\log_{0,5} 100}{\log_{0,5} 0,1}$$
$$\frac{2}{\lg 3}=2\log_3 10,$$
значит
$$3^{\frac{2}{\lg 3}}=3^{2\log_3 10}=\left(3^{\log_3 10}\right)^2=10^2=100.$$
$$\frac{\log_{0,5} 100}{\log_{0,5} 0,1}=\log_{0,1} 100=\log_{10^{-1}} 10^2=-2.$$
$$5 \cdot 100-(-2)=502.$$