Упр.25.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Выбирают точку первой координатной четверти ниже графика $$y=1-|x-1|$$. Найдите все значения $$a$$, при которых вероятность того, что она окажется выше прямой $$y=ax$$, будет: а) равна 1; б) равна 0; в) положительна; г) меньше 1; д) равна 0,5; е) меньше 0,01.
- На рисунке 151 изображён график производной функции $$y=g(x)$$. С помощью графика найдите значения $$x$$, в которых касательная к графику функции $$y=g(x)$$ параллельна прямой: а) $$y=3$$; в) $$y=2x+5$$; б) $$y=-2$$; г) $$y=-x+1$$.
График $$y=1-|x-1|$$ — это равнобедренный треугольник с вершиной в точке $$(1,1)$$ и основанием на оси $$Ox$$ от $$x=0$$ до $$x=2$$. В первой координатной четверти рассматриваем точки под этим графиком, то есть внутри треугольника.
Для прямой $$y=ax$$ вероятность того, что случайно выбранная точка окажется выше этой прямой, равна отношению площади части треугольника, лежащей выше прямой, к площади всего треугольника.
Площадь всего треугольника:
$$S=\frac12\cdot 2\cdot 1=1.$$
Уравнение верхней границы треугольника:
$$y= \begin{cases} x, & 0\le x\le 1,\\ 2-x, & 1\le x\le 2. \end{cases}$$
а) Вероятность равна $$1$$, если прямая $$y=ax$$ не пересекает внутренность треугольника и лежит не выше него. Это возможно при $$a\le 0$$.
б) Вероятность равна $$0$$, если прямая лежит не ниже всего треугольника. Это возможно при $$a\ge 1$$.
в) Вероятность положительна, если прямая проходит ниже хотя бы части треугольника, то есть при $$a<1$$.
г) Вероятность меньше $$1$$, если прямая пересекает треугольник, то есть при $$a>0$$.
д) Пусть вероятность равна $$0{,}5$$. Тогда площадь части треугольника выше прямой равна половине всей площади:
$$P(A)=\frac12.$$
Точка пересечения прямой $$y=ax$$ с правой стороной треугольника $$y=2-x$$ находится из уравнения
$$ax=2-x.$$
Отсюда
$$x=\frac{2}{1+a}.$$
Высота отсечённого треугольника равна
$$y=ax=\frac{2a}{1+a}.$$
Тогда площадь части ниже прямой:
$$S_{\text{ниже}}=\frac12\cdot \frac{2}{1+a}\cdot \frac{2a}{1+a}=\frac{2a}{1+a}.$$
Следовательно, площадь части выше прямой:
$$S_{\text{выше}}=1-\frac{2a}{1+a}=\frac{1-a}{1+a}.$$
Так как общая площадь равна $$1$$, получаем
$$\frac{1-a}{1+a}=\frac12.$$
Решаем уравнение:
$$2-2a=1+a,$$
$$3a=1,$$
$$a=\frac13.$$
е) Пусть вероятность меньше $$0{,}01$$:
$$\frac{1-a}{1+a}<0{,}01=\frac1{100}.$$
Решаем неравенство:
$$100(1-a)<1+a,$$
$$100-100a<1+a,$$
$$99<101a,$$
$$a>\frac{99}{101}.$$
Ответ: а) $$a\le 0$$; б) $$a\ge 1$$; в) $$a<1$$; г) $$a>0$$; д) $$a=\frac13$$; е) $$a>\frac{99}{101}$$.
На рисунке 151 дан график производной $$y=g'(x)$$. Касательная к графику функции $$y=g(x)$$ параллельна прямой тогда и только тогда, когда её угловой коэффициент равен угловому коэффициенту этой прямой, то есть когда $$g'(x)$$ принимает нужное значение.
а) Прямая $$y=3$$ горизонтальна, значит её угловой коэффициент $$k=0$$. По графику $$g'(x)=0$$ при
$$x=-7,\,-3,\,2,\,9.$$
б) Прямая $$y=-2$$ тоже горизонтальна, значит $$k=0$$. Поэтому
$$x=-7,\,-3,\,2,\,9.$$
в) Для прямой $$y=2x+5$$ угловой коэффициент $$k=2$$. По графику
$$x=-5,\;12.$$
г) Для прямой $$y=-x+1$$ угловой коэффициент $$k=-1$$. По графику
$$x=-8,\,-2,\,1,\,3,\,8.$$
Ответ: а) $$x=-7,-3,2,9$$; б) $$x=-7,-3,2,9$$; в) $$x=-5,12$$; г) $$x=-8,-2,1,3,8$$.
