Упр.25.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) равна 1;
б) равна 0;
в) положительна;
г) меньше 1;
д) равна 0,5;
е) меньше 0,01. На рисунке 151 изображён график производной функции y=g(x).
С помощью графика найдите значения х, в которых касательная к графику функции y=g(x) параллельна прямой:
а) y=3; в) y=2x+5;
б) y=-2; г) y=-x+1.

График $$y=1-|x-1|$$ — это равнобедренный треугольник с вершиной в точке $$ (1,1) $$ и основанием на оси $$Ox$$ от $$x=0$$ до $$x=2$$. В первой координатной четверти рассматриваем точки под этим графиком, то есть внутри треугольника.

Для прямой $$y=ax$$ вероятность того, что случайно выбранная точка окажется выше этой прямой, равна отношению площади части треугольника, лежащей выше прямой, к площади всего треугольника.

Площадь всего треугольника:

$$ S=\frac12\cdot 2\cdot 1=1. $$

Уравнение верхней границы треугольника:

$$ y= \begin{cases} x, & 0\le x\le 1,\\ 2-x, & 1\le x\le 2. \end{cases} $$

а) Вероятность равна $$1$$, если прямая $$y=ax$$ не пересекает внутренность треугольника и лежит не выше него. Это возможно при $$a\le 0$$.

б) Вероятность равна $$0$$, если прямая лежит не ниже всего треугольника. Это возможно при $$a\ge 1$$.

в) Вероятность положительна, если прямая проходит ниже хотя бы части треугольника, то есть при $$a<1$$.

г) Вероятность меньше $$1$$, если прямая пересекает треугольник, то есть при $$a>0$$.

д) Пусть вероятность равна $$0{,}5$$. Тогда площадь части треугольника выше прямой равна половине всей площади:

$$ P(A)=\frac12. $$

Точка пересечения прямой $$y=ax$$ с правой стороной треугольника $$y=2-x$$ находится из уравнения

$$ ax=2-x. $$

Отсюда

$$ x=\frac{2}{1+a}. $$

Высота отсечённого треугольника равна

$$ y=ax=\frac{2a}{1+a}. $$

Тогда площадь части ниже прямой:

$$ S_{\text{ниже}}=\frac12\cdot \frac{2}{1+a}\cdot \frac{2a}{1+a}=\frac{2a}{1+a}. $$

Следовательно, площадь части выше прямой:

$$ S_{\text{выше}}=1-\frac{2a}{1+a}=\frac{1-a}{1+a}. $$

Так как общая площадь равна $$1$$, получаем

$$ \frac{1-a}{1+a}=\frac12. $$

Решаем уравнение:

$$ 2-2a=1+a, $$

$$ 3a=1, $$

$$ a=\frac13. $$

е) Пусть вероятность меньше $$0{,}01$$:

$$ \frac{1-a}{1+a}<0{,}01=\frac1{100}. $$

Решаем неравенство:

$$ 100(1-a)<1+a, $$

$$ 100-100a<1+a, $$

$$ 99<101a, $$

$$ a>\frac{99}{101}. $$

Ответ: а) $$a\le 0$$; б) $$a\ge 1$$; в) $$a<1$$; г) $$a>0$$; д) $$a=\frac13$$; е) $$a>\frac{99}{101}$$.

Ход решения

На рисунке 151 дан график производной $$y=g'(x)$$. Касательная к графику функции $$y=g(x)$$ параллельна прямой тогда и только тогда, когда её угловой коэффициент равен угловому коэффициенту этой прямой, то есть когда $$g'(x)$$ принимает нужное значение.

а) Прямая $$y=3$$ горизонтальна, значит её угловой коэффициент $$k=0$$. По графику $$g'(x)=0$$ при

$$ x=-7,\,-3,\,2,\,9. $$

б) Прямая $$y=-2$$ тоже горизонтальна, значит $$k=0$$. Поэтому

$$ x=-7,\,-3,\,2,\,9. $$

в) Для прямой $$y=2x+5$$ угловой коэффициент $$k=2$$. По графику

$$ x=-5,\;12. $$

г) Для прямой $$y=-x+1$$ угловой коэффициент $$k=-1$$. По графику

$$ x=-8,\,-2,\,1,\,3,\,8. $$

Ответ: а) $$x=-7,-3,2,9$$; б) $$x=-7,-3,2,9$$; в) $$x=-5,12$$; г) $$x=-8,-2,1,3,8$$.