Упр.25.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года. В прямоугольнике с вершинами $$(1; 0)$$, $$(1; 2)$$, $$(6; 2)$$, $$(6; 0)$$ наудачу выбирают точку. Какова вероятность того, что она окажется: а) ниже параболы $$y=2x^2$$; б) выше параболы $$y=2x^2-8x+8$$; в) ниже графика функции $$y=2\sin(0,1?(x-1))$$; г) выше параболы $$y=1-x^2$$; д) ниже параболы $$y=6x-16-0,5x^2$$; е) ниже графика функции $$y=\frac{x-2}{2(7-x)}$$?
Задание учебника 2022 года. На рисунке 150 изображён график функции $$y=f(x)$$ и касательные к нему, проведённые в точках $$x_1$$, $$x_2$$, $$x_3$$, $$x_4$$. Найдите: а) значение производной в точке $$x_1$$; б) тангенс угла наклона касательной в точке $$x_2$$; в) угловой коэффициент касательной в точке $$x_3$$; г) угол наклона касательной в точке $$x_4$$.
Площадь прямоугольника:
$$S_{\text{пр}}=(6-1)(2-0)=5\cdot 2=10.$$
а) $$y=2x^2.$$
На отрезке $$x\in[1;6]$$ имеем $$y'(x)=4x>0,$$ значит функция возрастает. При $$x=1$$ получаем $$y=2>0,$$ то есть весь прямоугольник лежит ниже графика.
$$P=1.$$
б) $$y=2x^2-8x+8=2(x-2)^2.$$
Найдём точки пересечения с прямой $$y=2$$:
$$2x^2-8x+8=2$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$x=1,\;3.$$
На отрезке $$[1;3]$$ парабола ниже прямой $$y=2$$, а на $$[3;6]$$ выше её. Тогда искомая площадь:
$$S=\int_1^3 \bigl(2-(2x^2-8x+8)\bigr)\,dx =\int_1^3 (8x-2x^2-6)\,dx =\frac{8}{3}.$$
$$P=\frac{S}{10}=\frac{8/3}{10}=\frac{4}{15}.$$
в) $$y=2\sin\bigl(0{,}1\pi(x-1)\bigr).$$
На отрезке $$x\in[1;6]$$ аргумент синуса меняется от $$0$$ до $$\frac{\pi}{2},$$ поэтому функция неотрицательна и возрастает. При $$x=6$$:
$$y(6)=2\sin\frac{\pi}{2}=2.$$
Значит, весь прямоугольник лежит ниже графика.
$$P=1.$$
г) $$y=1-x^2.$$
На отрезке $$[1;6]$$ имеем $$1-x^2\le 0,$$ а при $$x=1$$ $$y=0.$$ Следовательно, весь прямоугольник расположен выше графика.
$$P=1.$$
д) $$y=6x-16-0{,}5x^2.$$
Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$6x-16-0{,}5x^2=0$$
$$x^2-12x+32=0$$
$$x=4,\;8.$$
На отрезке $$[4;6]$$ график расположен выше оси $$Ox$$, а на $$[1;4]$$ — ниже. Искомая площадь:
$$S=\int_4^6 (6x-16-0{,}5x^2)\,dx =\frac{8}{3}.$$
Тогда
$$P=\frac{S}{10}=\frac{8/3}{10}=\frac{4}{15}.$$
е) $$y=\frac{x-2}{2(7-x)}=-\frac{5}{2(x-7)}-\frac12.$$
На отрезке $$[1;6]$$ функция возрастает, а при $$x=2$$:
$$y(2)=0.$$
Значит, ниже графика лежит часть прямоугольника при $$x\in[2;6]$$. Тогда
$$S=\int_2^6 \left(\frac{x-2}{2(7-x)}+ \frac12\right)dx =\int_2^6 \left(-\frac{5}{2(x-7)}-\frac12\right)dx =\frac52\ln 5-2.$$
Следовательно,
$$P=\frac{S}{10}=\frac{5\ln 5-4}{20} =\frac{\ln 5}{4}-0{,}2.$$
Для рисунка 150:
а) $$f'(x_1)=0.$$
б) $$\tan \alpha=\frac{6}{3}=2.$$
в) $$k=\tan \alpha=-\frac{2}{3}.$$
г) $$\tan \alpha=-1,$$ значит $$\alpha=135^\circ.$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$\frac{4}{15}$$; в) $$1$$; г) $$1$$; д) $$\frac{4}{15}$$; е) $$\frac{\ln 5}{4}-0{,}2$$; для рисунка 150: а) $$0$$, б) $$2$$, в) $$-\frac{2}{3}$$, г) $$135^\circ$$.
