Упр.25.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Задание учебника 2025 года. В прямоугольнике $$ABCD$$ со сторонами $$AB=2$$, $$BC=5$$ наудачу выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена:
а) на границе прямоугольника;
б) ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$CD$$;
в) ближе к прямой $$BC$$, чем к прямой $$AD$$;
г) ближе к вершине $$A$$, чем к вершине $$C$$;
д) ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$BC$$;
е) ближе к вершине $$A$$, чем к точке пересечения диагоналей.
Задание учебника 2022 года. Найдите вероятности для нормально распределённой случайной величины:
а) $$P(0?T?1)$$, $$T\sim N(0;2)$$;
б) $$P(1?T?4)$$, $$T\sim N(0;2)$$;
в) $$P(-1?R?6)$$, $$R\sim N(3;2)$$;
г) $$P(1?R?7)$$, $$R\sim N(3;2)$$;
д) $$P(-3?Q?-2)$$, $$Q\sim N(-2{,}5;0{,}5)$$;
е) $$P(Q?-1{,}5)$$, $$Q\sim N(-2{,}5;0{,}5)$$.

Подробный ответ

1) Прямоугольник $$ABCD$$, $$AB=2$$, $$BC=5$$.

Площадь прямоугольника:

$$S=AB\cdot BC=2\cdot 5=10.$$

На границе прямоугольника точка с вероятностью $$0$$, так как граница имеет нулевую площадь.
$$P=0.$$
Ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$CD$$ — это левая половина прямоугольника, её площадь равна
$$S_1=\frac{5\cdot 2}{2}=5.$$
Тогда
$$P=\frac{5}{10}=0{,}5.$$
Ближе к прямой $$BC$$, чем к прямой $$AD$$ — это верхняя половина прямоугольника, поэтому
$$P=\frac{1}{2}=0{,}5.$$
Ближе к вершине $$A$$, чем к вершине $$C$$ — это одна из двух равных частей, на которые делит прямоугольник серединный перпендикуляр к диагонали $$AC$$.
Следовательно,
$$P=\frac{1}{2}=0{,}5.$$
Ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$BC$$ — это квадрат со стороной $$1$$ в левом нижнем углу прямоугольника.
Его площадь равна $$1$$, значит
$$P=\frac{1}{10}=0{,}1.$$
Ближе к вершине $$A$$, чем к точке пересечения диагоналей, — это часть прямоугольника, ограниченная серединными перпендикулярами к отрезкам, соединяющим $$A$$ с центром прямоугольника.
По симметрии эта часть составляет $$0{,}21$$ площади прямоугольника.
$$P=0{,}21.$$

2) Нормально распределённая случайная величина.

Используем стандартную замену:

$$T=\mu+\sigma S,\qquad S\sim N(0;1).$$

а) $$P(0\le T\le 1),\quad T\sim N(0;2).$$
$$P(0\le T\le 1)=P\!\left(0\le 2S\le 1\right)=P\!\left(0\le S\le 0{,}5\right)=\Phi(0{,}5)-\Phi(0)=0{,}1915.$$
б) $$P(1\le T\le 4),\quad T\sim N(0;2).$$
$$P(1\le T\le 4)=P\!\left(0{,}5\le S\le 2\right)=\Phi(2)-\Phi(0{,}5)=0{,}4772-0{,}1915=0{,}2857.$$
в) $$P(-1\le R\le 6),\quad R\sim N(3;2).$$
$$P(-1\le R\le 6)=P\!\left(-2\le S\le 1{,}5\right)=\Phi(2)+\Phi(1{,}5)=0{,}4772+0{,}4332=0{,}9104.$$
г) $$P(1\le R\le 7),\quad R\sim N(3;2).$$
$$P(1\le R\le 7)=P\!\left(-1\le S\le 2\right)=\Phi(1)+\Phi(2)=0{,}3413+0{,}4772=0{,}8185.$$
д) $$P(-3\le Q\le -2),\quad Q\sim N(-2{,}5;0{,}5).$$
$$P(-3\le Q\le -2)=P\!\left(-1\le S\le 1\right)=\Phi(1)+\Phi(1)=0{,}3413+0{,}3413=0{,}6826.$$
е) $$P(Q\le -1{,}5),\quad Q\sim N(-2{,}5;0{,}5).$$
$$P(Q\le -1{,}5)=P\!\left(S\le 2\right)=0{,}9772.$$