Упр.25.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) на границе прямоугольника;
б) ближе к прямой АВ, чем к прямой CD;
в) ближе к прямой ВС, чем к прямой AD;
г) ближе к вершине А, чем к вершине С;
д) ближе к прямой АВ, чем к прямой ВС;
е) ближе к вершине А, чем к точке пересечения диагоналей. Найдите вероятности для нормально распределённой случайной величины:
а) P(0?T?1), T ~ N(0; 2);
б) P(1?T?4), T ~ N(0; 2);
в) P(-1?R?6), R ~ N(3; 2);
г) P(1?R?7), R ~ N(3; 2);
д) P(-3?Q?-2), Q ~ N(-2,5; 0,5);
е) P(Q?-1,5), Q ~ N(-2,5; 0,5).

1) Прямоугольник $ABCD$, $AB=2$, $BC=5$.

Площадь прямоугольника:

$$S=AB\cdot BC=2\cdot 5=10.$$

1. На границе прямоугольника точка с вероятностью $0$, так как граница имеет нулевую площадь.

   $$P=0.$$

2. Ближе к прямой $AB$, чем к прямой $CD$ — это левая половина прямоугольника, её площадь равна

   $$S_1=\frac{5\cdot 2}{2}=5.$$

   Тогда

   $$P=\frac{5}{10}=0{,}5.$$

3. Ближе к прямой $BC$, чем к прямой $AD$ — это верхняя половина прямоугольника, поэтому

   $$P=\frac{1}{2}=0{,}5.$$

4. Ближе к вершине $A$, чем к вершине $C$ — это одна из двух равных частей, на которые делит прямоугольник серединный перпендикуляр к диагонали $AC$.

   Следовательно,

   $$P=\frac{1}{2}=0{,}5.$$

5. Ближе к прямой $AB$, чем к прямой $BC$ — это квадрат со стороной $1$ в левом нижнем углу прямоугольника.

   Его площадь равна $1$, значит

   $$P=\frac{1}{10}=0{,}1.$$

6. Ближе к вершине $A$, чем к точке пересечения диагоналей, — это часть прямоугольника, ограниченная серединными перпендикулярами к отрезкам, соединяющим $A$ с центром прямоугольника.

   По симметрии эта часть составляет $0{,}21$ площади прямоугольника.

   $$P=0{,}21.$$

2) Нормально распределённая случайная величина.

Используем стандартную замену:

$$T=\mu+\sigma S,\qquad S\sim N(0;1).$$

1. а) $$P(0\le T\le 1),\quad T\sim N(0;2).$$

   $$P(0\le T\le 1)=P\!\left(0\le 2S\le 1\right)=P\!\left(0\le S\le 0{,}5\right)=\Phi(0{,}5)-\Phi(0)=0{,}1915.$$

2. б) $$P(1\le T\le 4),\quad T\sim N(0;2).$$

   $$P(1\le T\le 4)=P\!\left(0{,}5\le S\le 2\right)=\Phi(2)-\Phi(0{,}5)=0{,}4772-0{,}1915=0{,}2857.$$

3. в) $$P(-1\le R\le 6),\quad R\sim N(3;2).$$

   $$P(-1\le R\le 6)=P\!\left(-2\le S\le 1{,}5\right)=\Phi(2)+\Phi(1{,}5)=0{,}4772+0{,}4332=0{,}9104.$$

4. г) $$P(1\le R\le 7),\quad R\sim N(3;2).$$

   $$P(1\le R\le 7)=P\!\left(-1\le S\le 2\right)=\Phi(1)+\Phi(2)=0{,}3413+0{,}4772=0{,}8185.$$

5. д) $$P(-3\le Q\le -2),\quad Q\sim N(-2{,}5;0{,}5).$$

   $$P(-3\le Q\le -2)=P\!\left(-1\le S\le 1\right)=\Phi(1)+\Phi(1)=0{,}3413+0{,}3413=0{,}6826.$$

6. е) $$P(Q\le -1{,}5),\quad Q\sim N(-2{,}5;0{,}5).$$

   $$P(Q\le -1{,}5)=P\!\left(S\le 2\right)=0{,}9772.$$

Ответ

1) а) $0$; б) $0{,}5$; в) $0{,}5$; г) $0{,}5$; д) $0{,}1$; е) $0{,}21$.

2) а) $0{,}1915$; б) $0{,}2857$; в) $0{,}9104$; г) $0{,}8185$; д) $0{,}6826$; е) $0{,}9772$.