Упр.24.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) f(x)=1-x^2, g(x)=x-1; б) f(x)=x^2-2x-3, g(x)=x+1;
в) f(x)=x^2+2x-3, g(x)=1-x^2; г) f(x)=x^2-4, g(x)=2x-1;
д) f(x)=-x^2+3x-2, g(x)=1-x; е) f(x)=(x-3)^2, g(x)=-x^2+2x+3. В кубике Рубика 3 x 3 наудачу выбирают точку. Какова вероятность того, что она окажется:
а) вершиной кубика;
б) внутри, т. е. не на поверхности кубика;
в) на диагонали кубика;
г) в одном из угловых кубиков 1 x 1;
д) в кубике 1 x 1, который не имеет общих точек с поверхностью куба 3 x 3;
е) в одном из кубиков 1 х 1, у которых ровно одна грань расположена на поверхности куба?
а) $$f(x)=1-x^2,\quad g(x)=x-1.$$
Точки пересечения:
$$1-x^2=x-1$$
$$x^2+x-2=0$$
$$x_1=-2,\quad x_2=1.$$
На отрезке $$[-2;1]$$ сверху находится график $$y=1-x^2$$, снизу — $$y=x-1$$.
$$S=\int\limits_{-2}^{1}\bigl((1-x^2)-(x-1)\bigr)\,dx=\int\limits_{-2}^{1}(2-x^2-x)\,dx$$
$$S=\left(2x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{-2}^{1}$$
$$S=\left(2-\frac13-\frac12\right)-\left(-4+\frac83-2\right)=\frac92.$$
б) $$f(x)=x^2-2x-3,\quad g(x)=x+1.$$
Точки пересечения:
$$x^2-2x-3=x+1$$
$$x^2-3x-4=0$$
$$x_1=-1,\quad x_2=4.$$
На отрезке $$[-1;4]$$ сверху находится график $$y=x+1$$, снизу — $$y=x^2-2x-3$$.
$$S=\int\limits_{-1}^{4}\bigl((x+1)-(x^2-2x-3)\bigr)\,dx=\int\limits_{-1}^{4}(3x+4-x^2)\,dx$$
$$S=\left(\frac{3x^2}{2}+4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{4}=\frac{125}{6}=20\frac56.$$
в) $$f(x)=x^2+2x-3,\quad g(x)=1-x^2.$$
Точки пересечения:
$$x^2+2x-3=1-x^2$$
$$2x^2+2x-4=0$$
$$x^2+x-2=0$$
$$x_1=-2,\quad x_2=1.$$
На отрезке $$[-2;1]$$ сверху находится график $$y=1-x^2$$, снизу — $$y=x^2+2x-3$$.
$$S=\int\limits_{-2}^{1}\bigl((1-x^2)-(x^2+2x-3)\bigr)\,dx=\int\limits_{-2}^{1}(4-2x-2x^2)\,dx$$
$$S=\left(4x-x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{1}=9.$$
г) $$f(x)=x^2-4,\quad g(x)=2x-1.$$
Точки пересечения:
$$x^2-4=2x-1$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$x_1=-1,\quad x_2=3.$$
На отрезке $$[-1;3]$$ сверху находится график $$y=2x-1$$, снизу — $$y=x^2-4$$.
$$S=\int\limits_{-1}^{3}\bigl((2x-1)-(x^2-4)\bigr)\,dx=\int\limits_{-1}^{3}(2x+3-x^2)\,dx$$
$$S=\left(x^2+3x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{3}=\frac{32}{3}=10\frac23.$$
д) $$f(x)=-x^2+3x-2,\quad g(x)=1-x.$$
Точки пересечения:
$$-x^2+3x-2=1-x$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$x_1=1,\quad x_2=3.$$
На отрезке $$[1;3]$$ сверху находится график $$y=-x^2+3x-2$$, снизу — $$y=1-x$$.
$$S=\int\limits_{1}^{3}\bigl((-x^2+3x-2)-(1-x)\bigr)\,dx=\int\limits_{1}^{3}(4x-x^2-3)\,dx$$
$$S=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}-3x\right)\Bigg|_{1}^{3}=\frac43=1\frac13.$$
е) $$f(x)=(x-3)^2,\quad g(x)=-x^2+2x+3.$$
Точки пересечения:
$$ (x-3)^2=-x^2+2x+3 $$
$$ x^2-6x+9=-x^2+2x+3 $$
$$ 2x^2-8x+6=0 $$
$$ x^2-4x+3=0 $$
$$ x_1=1,\quad x_2=3.$$
На отрезке $$[1;3]$$ сверху находится график $$y=-x^2+2x+3$$, снизу — $$y=(x-3)^2$$.
$$S=\int\limits_{1}^{3}\bigl((-x^2+2x+3)-(x-3)^2\bigr)\,dx=\int\limits_{1}^{3}(8x-6-2x^2)\,dx$$
$$S=\left(4x^2-6x-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{1}^{3}=\frac83=2\frac23.$$
Вероятности для кубика $$3\times 3\times 3$$. Всего маленьких кубиков $$27$$.
а) вершиной кубика является только угол большого куба, таких точек нет среди выбранных кубиков 1×1:
$$P=0.$$
б) внутри, то есть не на поверхности:
$$P=\frac{1}{27}.$$
в) на диагонали кубика:
$$P=0.$$
г) в одном из угловых кубиков $$1\times 1$$:
$$P=\frac{8}{27}.$$
д) в кубике $$1\times 1$$, который не имеет общих точек с поверхностью куба $$3\times 3\times 3$$:
$$P=\frac{1}{27}.$$
е) в одном из кубиков $$1\times 1$$, у которых ровно одна грань расположена на поверхности куба:
Таких кубиков $$6$$, значит
$$P=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}.$$
Ответ
а) $$\frac92$$; б) $$20\frac56$$; в) $$9$$; г) $$10\frac23$$; д) $$1\frac13$$; е) $$2\frac23$$; для вероятностей: а) $$0$$; б) $$\frac{1}{27}$$; в) $$0$$; г) $$\frac{8}{27}$$; д) $$\frac{1}{27}$$; е) $$\frac{2}{9}$$.
