Упр.24.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) рис. 123; в) рис. 125; д) рис. 127;
б) рис. 124; г) рис. 126; е) рис. 128. В прямоугольном треугольнике ?OAB, где O(0; 0), A(0; 3), В(4; О), наудачу выбирают точку. Какова вероятность того, что она окажется:
а) в круге x^2+y^2?25;
б) во второй координатной четверти;
в) в треугольнике, образованном средними линиями ?OAB;
г) правее прямой x=3;
д) ниже прямой y=2;
е) левее прямой x=3 и ниже прямой y=2?

Площадь прямоугольного треугольника $$OAB$$ найдём по формуле:

$$S_{\triangle OAB}=\frac12\cdot OA\cdot OB=\frac12\cdot 3\cdot 4=6.$$

1. В круге $$x^2+y^2\le 25$$ лежит весь треугольник, так как его вершины $$O(0;0),\ A(0;3),\ B(4;0)$$ находятся внутри круга радиуса $$5$$. Значит, искомая вероятность равна

   $$P=\frac{6}{6}=1.$$

2. Во второй координатной четверти точек треугольника нет, поэтому

   $$P=0.$$

3. Треугольник, образованный средними линиями, подобен исходному с коэффициентом $$\frac12$$, значит его площадь в $$4$$ раза меньше:

   $$S=\frac14\cdot 6=\frac32.$$

   Тогда

   $$P=\frac{\frac32}{6}=\frac14.$$

4. Правее прямой $$x=3$$ находится часть треугольника с основанием $$4-3=1$$ и высотой $$\frac34$$:

   $$S=\frac12\cdot 1\cdot \frac34=\frac38.$$

   Следовательно,

   $$P=\frac{\frac38}{6}=\frac1{16}.$$

5. Ниже прямой $$y=2$$ находится часть треугольника с основанием $$\frac43$$ и высотой $$2$$:

   $$S=\frac12\cdot \frac43\cdot 2=\frac43.$$

   Тогда

   $$P=\frac{\frac43}{6}=\frac29.$$

6. Левее прямой $$x=3$$ и ниже прямой $$y=2$$ находится прямоугольный треугольник с катетами $$\frac34$$ и $$2$$:

   $$S=\frac12\cdot \frac34\cdot 2=\frac34.$$

   Следовательно,

   $$P=\frac{\frac34}{6}=\frac18.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$0$$; в) $$\frac14$$; г) $$\frac1{16}$$; д) $$\frac29$$; е) $$\frac18$$.