Упр.24.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) y = 1 / (1 + x^2), a = 0, b = v3;
б) y = (v(1 — x^2) — 1) / v(1 — x^2), a = 0, b = v3/2;
в) y = (2x^2 + 5) / (x^2 + 1), a = -1, b = 1;
г) y = 2 / v(1 — x^2) + x^2, a = -0,5, b = 0,5. В прямоугольнике, ограниченном прямыми x=1, x=5, y=-2, y=3, наудачу выбирают точку. Какова вероятность того, что она окажется:
а) на оси ординат; г) правее прямой x=4;
б) на оси абсцисс; д) выше прямой y=x;
в) ниже оси абсцисс; с) ниже прямой x+y=3?

Подробный ответ

а) $$y=\frac{1}{1+x^2}, \quad x\in[0;\sqrt{3}]$$
$$A=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x\Big|_{0}^{\sqrt{3}}=\arctan\sqrt{3}-\arctan 0=\frac{\pi}{3}.$$
б) $$y=\frac{\sqrt{1-x^2}-1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad x\in\left[0;\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$$
$$y=1-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$
На отрезке функция ниже оси абсцисс, поэтому площадь равна
$$A=\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-1\right)\,dx.$$
$$A=\arcsin x\Big|_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}-x\Big|_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{6}.$$
в) $$y=\frac{2x^2+5}{x^2+1}, \quad x\in[-1;1]$$
$$\frac{2x^2+5}{x^2+1}=2+\frac{3}{x^2+1}.$$
$$A=\int\limits_{-1}^{1}\left(2+\frac{3}{x^2+1}\right)\,dx=2x+3\arctan x\Big|_{-1}^{1}.$$
$$A=\left(2+3\cdot\frac{\pi}{4}\right)-\left(-2-3\cdot\frac{\pi}{4}\right)=4+\frac{3\pi}{2}.$$
г) $$y=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}+x^2, \quad x\in\left[-\frac12;\frac12\right]$$
$$A=\int\limits_{-\frac12}^{\frac12}\left(\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}+x^2\right)\,dx =2\arcsin x+\frac{x^3}{3}\Big|_{-\frac12}^{\frac12}.$$
$$A=\left(2\arcsin\frac12+\frac{1}{24}\right)-\left(2\arcsin\left(-\frac12\right)-\frac{1}{24}\right) =\frac{2\pi}{3}+\frac{1}{12}=\frac{8\pi+1}{12}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{3}$$; б) $$\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{6}$$; в) $$4+\frac{3\pi}{2}$$; г) $$\frac{8\pi+1}{12}$$.

Ход решения

Площадь прямоугольника:

$$S=(5-1)\cdot(3-(-2))=4\cdot 5=20.$$

а) На оси ординат лежат точки с $$x=0$$, но в прямоугольнике $$1\le x\le 5$$ таких точек нет, значит
$$P=0.$$
б) На оси абсцисс лежат точки с $$y=0$$. Это отрезок нулевой площади, поэтому
$$P=0.$$
в) Ниже оси абсцисс: $$-2<y<0.$$
Площадь такой части прямоугольника:
$$S=(5-1)\cdot(0-(-2))=4\cdot 2=8.$$
Тогда
$$P=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}=0{,}4.$$
г) Правее прямой $$x=4$$: $$4<x<5.$$
Площадь:
$$S=(5-4)\cdot 5=5,$$
поэтому
$$P=\frac{5}{20}=\frac14=0{,}25.$$
д) Выше прямой $$y=x$$ внутри прямоугольника это треугольник с вершинами $$\,(1,1),\,(1,3),\,(3,3)\,.$$
Его площадь:
$$S=\frac12\cdot 2\cdot 2=2.$$
Тогда
$$P=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}=0{,}1.$$
е) Ниже прямой $$x+y=3$$, то есть $$y=3-x.$$
Внутри прямоугольника эта часть имеет площадь
$$S=8,$$
следовательно
$$P=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}=0{,}4.$$