Упр.24.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=e^(3x-3), a=0, b=1; б) y=1/(2(x-1)), a=2, b=3;
в) y=10^(2x+2), a=-1, b=0; г) y=e^(2x+4), a=-2, b=0;
д) y=1/(3(x+2)), a=-1, b=0; е) y=0,1^(3-x), a=2, b=3. В треугольнике с вершинами А(1; 0); В(3; 0); С(3; 6) наудачу выбирают точку. Какова вероятность того, что она окажется:
а) левее оси ординат;
б) выше оси абсцисс;
в) левее прямой x=2;
г) вершиной треугольника;
д) ниже прямой y=2;
е) выше прямой y=2x-2?

1. Площадь криволинейной трапеции на отрезке $$[a;b]$$ равна

   $$S=\int_a^b y(x)\,dx.$$

   а)

   $$S=\int_0^1 e^{3x-3}\,dx=\frac13 e^{3x-3}\Big|_0^1=\frac13\left(e^0-e^{-3}\right)=\frac13\left(1-\frac1{e^3}\right).$$

   б)

   $$S=\int_2^3 \frac{1}{2(x-1)}\,dx=\frac12\ln|x-1|\Big|_2^3=\frac12(\ln 2-\ln 1)=\frac12\ln 2.$$

   в)

   $$S=\int_{-1}^0 10^{2x+2}\,dx=\frac{10^{2x+2}}{2\ln 10}\Big|_{-1}^0=\frac{10^2-10^0}{2\ln 10}=\frac{99}{2\ln 10}.$$

   г)

   $$S=\int_{-2}^0 e^{2x+4}\,dx=\frac12 e^{2x+4}\Big|_{-2}^0=\frac12(e^4-e^0)=\frac12(e^4-1).$$

   д)

   $$S=\int_{-1}^0 \frac{1}{3(x+2)}\,dx=\frac13\ln|x+2|\Big|_{-1}^0=\frac13(\ln 2-\ln 1)=\frac13\ln 2.$$

   е)

   $$S=\int_2^3 0{,}1^{\,3-x}\,dx=-\frac{0{,}1^{\,3-x}}{\ln 0{,}1}\Big|_2^3=\frac{0{,}1^0-0{,}1^1}{\ln 10}=\frac{0{,}9}{\ln 10}.$$

2. Треугольник с вершинами $$A(1;0),\ B(3;0),\ C(3;6)$$ — прямоугольный.

   Его площадь:

   $$S_{\triangle}=\frac12\cdot 2\cdot 6=6.$$

   а) Левее оси ординат в треугольнике точек нет, значит

   $$P=0.$$

   б) Выше оси абсцисс занимает половину площади треугольника:

   $$P=\frac{1}{2}.$$

   в) Левее прямой $$x=2$$ находится треугольник с основанием $$1$$ и высотой $$3$$:

   $$S=\frac12\cdot 1\cdot 3=\frac32,$$

   поэтому

   $$P=\frac{3/2}{6}=\frac14.$$

   г) Вершины треугольника — это три точки, а вероятность попадания в одну точку равна нулю:

   $$P=0.$$

   д) Ниже прямой $$y=2$$ лежит часть треугольника с площадью

   $$S=\int_1^3 \bigl(2x-2\bigr)\,dx=\bigl(x^2-2x\bigr)\Big|_1^3=4,$$

   значит

   $$P=\frac{4}{6}=\frac23.$$

   е) Выше прямой $$y=2x-2$$ в треугольнике лежит оставшаяся часть:

   $$P=1-\frac23=\frac13.$$

Ответ

а) $$\frac13\left(1-\frac1{e^3}\right)$$; б) $$\frac12\ln 2$$; в) $$\frac{99}{2\ln 10}$$; г) $$\frac12(e^4-1)$$; д) $$\frac13\ln 2$$; е) $$\frac{0{,}9}{\ln 10}$$;
2) а) $$0$$; б) $$\frac12$$; в) $$\frac14$$; г) $$0$$; д) $$\frac23$$; е) $$\frac13$$.