Упр.24.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=e^x, a=0, b=1; г) y=e^x, a=-1, b=0;
б) y=0,5^x, a=1, b=2; д) y=2^x, a=-1, b=1;
в) y=1/x, a=1, b=3; е) y=2/x, a=0,5, b=1. Какова вероятность того, что случайным образом выбранное решение неравенства x(x-6)?2x+9 окажется решением неравенства:
а) x?0; в) |x-1|?1; д) v(x-5)?2;
б) |x-1|?0; г) x^3>x; е) 1/x?4?

1. а) $$S=\int_0^1 e^x\,dx=\left.e^x\right|_0^1=e-1.$$

   Ответ: $$e-1.$$

2. б) $$S=\int_1^2 0{,}5^x\,dx=\left.\frac{0{,}5^x}{\ln 0{,}5}\right|_1^2.$$

   Так как $$\ln 0{,}5=-\ln 2,$$ то

   $$S=\frac{0{,}25-0{,}5}{\ln 0{,}5}=\frac{1}{4\ln 2}.$$

   Ответ: $$\frac{1}{4\ln 2}.$$

3. в) $$S=\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx=\left.\ln|x|\right|_1^3=\ln 3-\ln 1=\ln 3.$$

   Ответ: $$\ln 3.$$

4. г) $$S=\int_{-1}^0 e^x\,dx=\left.e^x\right|_{-1}^0=1-\frac{1}{e}.$$

   Ответ: $$1-\frac{1}{e}.$$

5. д) $$S=\int_{-1}^1 2^x\,dx=\left.\frac{2^x}{\ln 2}\right|_{-1}^1.$$

   $$S=\frac{2}{\ln 2}-\frac{1}{2\ln 2}=\frac{3}{2\ln 2}.$$

   Ответ: $$\frac{3}{2\ln 2}.$$

6. е) $$S=\int_{0{,}5}^1 \frac{2}{x}\,dx=\left.2\ln|x|\right|_{0{,}5}^1.$$

   $$S=2\ln 1-2\ln 0{,}5=2\ln 2.$$

   Ответ: $$2\ln 2.$$

Ход решения

Решим неравенство:

$$x(x-6)\le 2x+9,$$

$$x^2-6x\le 2x+9,$$

$$x^2-8x-9\le 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=8^2+4\cdot 9=64+36=100,$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2},\quad x_1=-1,\; x_2=9.$$

Тогда

$$x^2-8x-9=(x+1)(x-9),$$

и решение неравенства:

$$-1\le x\le 9.$$

1. а) $$x\ge 0.$$

   Подходят целые числа от $$0$$ до $$9$$ включительно: $$10$$ чисел.

   Всего решений неравенства: $$11$$.

   $$P=\frac{10}{11}.$$

   Ответ: $$\frac{10}{11}.$$

2. б) $$|x-1|\le 0.$$

   Отсюда $$x=1.$$

   Это одно из $$11$$ решений.

   $$P=\frac{1}{11}.$$

   Ответ: $$\frac{1}{11}.$$

3. в) $$|x-1|\le 1.$$

   $$-1\le x-1\le 1,$$

   $$0\le x\le 2.$$

   Подходят числа $$0,1,2$$ — всего $$3$$.

   $$P=\frac{3}{11}.$$

   Ответ: $$\frac{3}{11}.$$

4. г) $$x^3>x.$$

   $$x(x^2-1)>0,$$

   $$x(x-1)(x+1)>0.$$

   На отрезке $$[-1;9]$$ целые решения: $$2,3,4,5,6,7,8,9$$ — всего $$8$$.

   $$P=\frac{8}{11}.$$

   Ответ: $$\frac{8}{11}.$$

5. д) $$\sqrt{x-5}\le 2.$$

   $$0\le x-5\le 4,$$

   $$5\le x\le 9.$$

   Подходят числа $$5,6,7,8,9$$ — всего $$5$$.

   $$P=\frac{5}{11}.$$

   Ответ: $$\frac{5}{11}.$$

6. е) $$\frac{1}{x}\le 4.$$

   $$\frac{4x-1}{x}\ge 0.$$

   Решение на отрезке $$[-1;9]$$ даёт целые числа $$-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9$$, кроме $$0$$; всего $$10$$ чисел, из них подходят $$9$$.

   $$P=\frac{9}{11}.$$

   Ответ: $$\frac{9}{11}.$$