Упр.24.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=cos(x), a=0, b=?/2; б) y=sin(2x), a=?/6, b=?/3;
в) y=1+2cos(2x), a=?/12, b=?/4; г) y=sin(x), a=?/4, b=3?/4;
д) y=cos(x/2), a=?/2, b=?; е) y=1-(1/2)sin(x/2), a=2?/3, b=?. На отрезке с концами в точках А(0; —2) и В(0; 8) наудачу выбирают точку С и из неё проводят луч, проходящий через точку В(1; 0). Какова вероятность того, что угол между лучом и положительным направлением оси ординат окажется:
а) острым; г) тупым;
б) прямым; д) больше чем 45°;
в) меньше чем 135°; е) больше чем ?-arctg(0,1)?

1. а) $$S=\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin x\Big|_0^{\pi/2}=\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0=1.$$

   Ответ: $$1.$$

2. б) $$S=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sin 2x\,dx=-\frac12\cos 2x\Big|_{\pi/6}^{\pi/3}.$$

   $$S=-\frac12\cos\frac{2\pi}{3}+\frac12\cos\frac{\pi}{3}=-\frac12\cdot\left(-\frac12\right)+\frac12\cdot\frac12=\frac12.$$

   Ответ: $$\frac12.$$

3. в) $$S=\int_{\pi/12}^{\pi/4}(1+2\cos 2x)\,dx=(x+\sin 2x)\Big|_{\pi/12}^{\pi/4}.$$

   $$S=\left(\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{12}+\sin\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}+\frac12.$$

   Ответ: $$\frac12+\frac{\pi}{6}.$$

4. г) $$S=\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_{\pi/4}^{3\pi/4}.$$

   $$S=-\cos\frac{3\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}=-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2.$$

   Ответ: $$\sqrt2.$$

5. д) $$S=\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\frac{x}{2}\,dx=2\sin\frac{x}{2}\Big|_{\pi/2}^{\pi}.$$

   $$S=2\sin\frac{\pi}{2}-2\sin\frac{\pi}{4}=2-\sqrt2.$$

   Ответ: $$2-\sqrt2.$$

6. е) $$S=\int_{2\pi/3}^{\pi}\left(1-\frac12\sin\frac{x}{2}\right)\,dx=\left(x+\cos\frac{x}{2}\right)\Big|_{2\pi/3}^{\pi}.$$

   $$S=\left(\pi+\cos\frac{\pi}{2}\right)-\left(\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{3}-\frac12.$$

   Ответ: $$\frac{\pi}{3}-\frac12.$$

7. а) Точка $$C$$ равновероятно выбирается на отрезке $$AB$$, где $$A(0;-2)$$, $$B(0;8)$$, значит длина отрезка равна $$10$$.

   Пусть $$C(0;a)$$, тогда луч $$CB$$ имеет угловой коэффициент $$k=-a$$. Угол между лучом и положительным направлением оси ординат острый тогда и только тогда, когда $$-a>0$$, то есть $$-2<a<0$$.

   Длина подходящего участка: $$2$$. Поэтому

   $$P=\frac{2}{10}=0{,}2.$$

   Ответ: $$0{,}2.$$

8. б) Прямой угол получается при $$-a=0$$, то есть при $$a=0$$.

   Такое значение одно, поэтому

   $$P=\frac{0}{10}=0.$$

   Ответ: $$0.$$

9. в) Угол меньше $$135^\circ$$ соответствует условию $$-a<-1$$, то есть $$a>1$$.

   Подходящий участок: $$1<a<8$$, его длина равна $$7$$. Тогда

   $$P=\frac{7}{10}=0{,}7.$$

   Ответ: $$0{,}7.$$

10. г) Тупой угол получается при $$-a<0$$, то есть при $$0<a<8$$.

    Длина подходящего участка равна $$8$$, поэтому

    $$P=\frac{8}{10}=0{,}8.$$

    Ответ: $$0{,}8.$$

11. д) Угол больше $$45^\circ$$ означает $$-a<1$$, то есть $$a>-1$$.

    Подходящий участок: $$-1<a<8$$, его длина равна $$9$$. Тогда

    $$P=\frac{9}{10}=0{,}9.$$

    Ответ: $$0{,}9.$$

12. е) Угол больше $$\pi-\arctg 0{,}1$$ эквивалентен условию

    $$\tg\left(\frac{3\pi}{2}-\left(\pi-\arctg 0{,}1\right)\right)=\tg\left(\frac{\pi}{2}+\arctg 0{,}1\right)=-\ctg(\arctg 0{,}1)=-10.$$

    Значит, $$-a>10$$, то есть $$a>10$$. На отрезке $$[-2;8]$$ таких значений нет, поэтому

    $$P=0.$$

    Ответ: $$0.$$