Упр.24.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) log_(x-2)(8-x)<0; б) log_(3x)(x-6)>0.

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство $$\log_{x-2}(8-x)<0.$$

Найдём область определения:

$$8-x>0,\quad x<8;$$
$$x-2>0,\quad x>2;$$
$$x-2\ne 1,\quad x\ne 3.$$

Основание логарифма зависит от $x$, поэтому рассмотрим два случая.

1) Если $$x>3,$$ то $$x-2>1,$$ и логарифм меньше нуля тогда и только тогда, когда

$$0<8-x<1.$$

Отсюда

$$x<8,\quad x>7.$$

Значит, $$x\in(7;8).$$

2) Если $$2<x<3,$$ то $$0<x-2<1,$$ и логарифм меньше нуля тогда и только тогда, когда

$$8-x>1.$$

Отсюда

$$x<7.$$

С учётом области определения получаем

$$x\in(2;3).$$

Итак,

$$x\in(2;3)\cup(7;8).$$

б) Рассмотрим неравенство $$\log_{3x}(x-6)>0.$$

Найдём область определения:

$$x-6>0,\quad x>6;$$
$$3x>0,\quad x>0;$$
$$3x\ne 1,\quad x\ne \frac13.$$

Так как из условия области определения уже имеем $$x>6,$$ то основание $$3x>1.$$ Для основания больше 1 логарифм положителен тогда и только тогда, когда

$$x-6>1.$$

Отсюда

$$x>7.$$

С учётом области определения получаем

$$x\in(7;+\infty).$$