Упр.24.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) cos(20°)cos(40°)cos(80°);
б) sin(10°)cos(20°)cos(40°).

Подробный ответ

а) Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{8\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{8\sin 20^\circ} $$
$$ = \frac{4\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{8\sin 20^\circ} = \frac{2\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{8\sin 20^\circ} = \frac{\sin 160^\circ}{8\sin 20^\circ} $$
Так как $$\sin 160^\circ=\sin(180^\circ-20^\circ)=\sin 20^\circ,$$ получаем:
$$ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ=\frac{1}{8}. $$

б) Аналогично:

$$ \sin 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{8\sin 10^\circ \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{8\cos 10^\circ} $$
$$ = \frac{4\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{8\cos 10^\circ} = \frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ}{8\cos 10^\circ} = \frac{\sin 80^\circ}{8\cos 10^\circ} $$
Так как $$\cos 10^\circ=\sin 80^\circ,$$ то
$$ \sin 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ=\frac{1}{8}. $$