Упр.24.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите значение выражения: а) $$\cos(20^\circ)\cos(40^\circ)\cos(80^\circ)$$; б) $$\sin(10^\circ)\cos(20^\circ)\cos(40^\circ)$$.
а) Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
$$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{8\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{8\sin 20^\circ}$$
$$= \frac{4\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{8\sin 20^\circ} = \frac{2\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{8\sin 20^\circ} = \frac{\sin 160^\circ}{8\sin 20^\circ}$$
Так как $$\sin 160^\circ=\sin(180^\circ-20^\circ)=\sin 20^\circ,$$ получаем:
$$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ=\frac{1}{8}.$$
б) Аналогично:
$$\sin 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{8\sin 10^\circ \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{8\cos 10^\circ}$$
$$= \frac{4\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{8\cos 10^\circ} = \frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ}{8\cos 10^\circ} = \frac{\sin 80^\circ}{8\cos 10^\circ}$$
Так как $$\cos 10^\circ=\sin 80^\circ,$$ то
$$\sin 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ=\frac{1}{8}.$$
Ответ
а) $$\frac{1}{8}$$; б) $$\frac{1}{8}$$.
