Упр.24.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. а) Фигура ограничена графиком функции $$y=\frac{1}{x^2}$$ и прямыми $$y=0$$, $$x=2$$, $$x=a$$. При каком значении параметра $$a$$ площадь фигуры равна $$0{,}25$$, если известно, что $$a>2$$?
   б) Фигура ограничена графиком функции $$y=\frac{3}{1+x^2}$$ и прямыми $$y=0$$, $$x=\sqrt{3}$$, $$x=a$$. При каком значении параметра $$a$$ площадь фигуры равна $$\frac{?}{2}$$, если известно, что $$a<\sqrt{3}$$?

а) Площадь фигуры равна

$$S=\int_{2}^{a}\frac{1}{x^2}\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$\int \frac{1}{x^2}\,dx=\int x^{-2}\,dx=-\frac{1}{x}.$$

Тогда

$$S=\left.-\frac{1}{x}\right|_{2}^{a}=-\frac{1}{a}+\frac{1}{2}.$$

По условию $$S=0{,}25=\frac{1}{4}$$, значит

$$-\frac{1}{a}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$

$$\frac{1}{a}=\frac{1}{4}$$

$$a=4.$$

б) Площадь фигуры равна

$$S=\int_{a}^{\sqrt{3}}\frac{3}{1+x^2}\,dx.$$

Так как

$$\int \frac{3}{1+x^2}\,dx=3\arctan x,$$

то

$$S=\left.3\arctan x\right|_{a}^{\sqrt{3}}=3\arctan\sqrt{3}-3\arctan a.$$

По условию $$S=\frac{\pi}{2}$$, значит

$$3\cdot \frac{\pi}{3}-3\arctan a=\frac{\pi}{2}$$

$$\pi-3\arctan a=\frac{\pi}{2}$$

$$3\arctan a=\frac{\pi}{2}$$

$$\arctan a=\frac{\pi}{6}.$$

Следовательно,

$$a=\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ

а) $$4$$; б) $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$.