Упр.24.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=(1/3)x^3+2x^2-5x-1/3; б) y=x^3-3x^2-9x+1.

а) $$y=\frac13x^3+2x^2-5x-\frac13$$

Касательные перпендикулярны оси ординат, значит они вертикальные. Их точки касания найдём из условия $$y'(x)=0$$:

$$y'(x)=x^2+4x-5$$
$$x^2+4x-5=0$$
$$D=4^2+4\cdot 5=36$$
$$x_1=\frac{-4-6}{2}=-5,\quad x_2=\frac{-4+6}{2}=1$$

Найдём значения функции в этих точках:

$$y(-5)=\frac13(-125)+2\cdot 25-5\cdot(-5)-\frac13=33$$
$$y(1)=\frac13+2-5-\frac13=-3$$

Расстояние между вертикальными касательными равно разности их ординат:

$$d=33-(-3)=36$$

б) $$y=x^3-3x^2-9x+1$$

Находим точки касания из условия $$y'(x)=0$$:

$$y'(x)=3x^2-6x-9$$
$$3x^2-6x-9=0$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$D=2^2+4\cdot 3=16$$
$$x_1=\frac{2-4}{2}=-1,\quad x_2=\frac{2+4}{2}=3$$

Вычислим ординаты точек касания:

$$y(-1)=-1-3+9+1=6$$
$$y(3)=27-27-27+1=-26$$

Тогда расстояние между касательными:

$$d=6-(-26)=32$$

Ответ

а) $$36$$; б) $$32$$.