Упр.24.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите расстояние между двумя касательными, проведёнными к графику данной функции перпендикулярно оси ординат: а) $$y=\frac{1}{3}x^3+2x^2-5x-\frac{1}{3}$$; б) $$y=x^3-3x^2-9x+1$$.
а) $$y=\frac13x^3+2x^2-5x-\frac13$$
Касательные перпендикулярны оси ординат, значит они вертикальные. Их точки касания найдём из условия $$y'(x)=0$$:
$$y'(x)=x^2+4x-5$$
$$x^2+4x-5=0$$
$$D=4^2+4\cdot 5=36$$
$$x_1=\frac{-4-6}{2}=-5,\quad x_2=\frac{-4+6}{2}=1$$
Найдём значения функции в этих точках:
$$y(-5)=\frac13(-125)+2\cdot 25-5\cdot(-5)-\frac13=33$$
$$y(1)=\frac13+2-5-\frac13=-3$$
Расстояние между вертикальными касательными равно разности их ординат:
$$d=33-(-3)=36$$
б) $$y=x^3-3x^2-9x+1$$
Находим точки касания из условия $$y'(x)=0$$:
$$y'(x)=3x^2-6x-9$$
$$3x^2-6x-9=0$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$D=2^2+4\cdot 3=16$$
$$x_1=\frac{2-4}{2}=-1,\quad x_2=\frac{2+4}{2}=3$$
Вычислим ординаты точек касания:
$$y(-1)=-1-3+9+1=6$$
$$y(3)=27-27-27+1=-26$$
Тогда расстояние между касательными:
$$d=6-(-26)=32$$
Ответ
а) $$36$$; б) $$32$$.
