Упр.24.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=vx, a=1, b=4; г) y=2vx, a=2, b=3;
б) y=x^(2), a=1, b=2; д) y=x^(-3), a=0,5, b=1;
в) y=x^(-2/3), a=1, b=8; е) y=1/(2vx), a=1, b=4. Какова вероятность того, что наудачу выбранная точка отрезка [—2; 8] не окажется точкой промежутка:
а) [-4; -3]; в) (0; 3); д) (-?; 5];
б) [-2; 9); г) (-1; 7]; е) [0; +?)?

1. а) $$y=\sqrt{x},\ a=1,\ b=4$$

   $$S=\int\limits_{1}^{4}\sqrt{x}\,dx=\int\limits_{1}^{4}x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{1}^{4}$$
   $$S=\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}=\frac{2}{3}\cdot 8-\frac{2}{3}=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}$$

2. б) $$y=x^{-2},\ a=1,\ b=2$$

   $$S=\int\limits_{1}^{2}x^{-2}\,dx=\left.-x^{-1}\right|_{1}^{2}$$
   $$S=-\frac{1}{2}-(-1)=\frac{1}{2}$$

3. в) $$y=x^{-2/3},\ a=1,\ b=8$$

   $$S=\int\limits_{1}^{8}x^{-2/3}\,dx=\left.3x^{1/3}\right|_{1}^{8}$$
   $$S=3\cdot 2-3\cdot 1=3$$

4. г) $$y=2\sqrt{x},\ a=2,\ b=3$$

   $$S=\int\limits_{2}^{3}2\sqrt{x}\,dx=\int\limits_{2}^{3}2x^{1/2}\,dx=\left.\frac{4}{3}x^{3/2}\right|_{2}^{3}$$
   $$S=\frac{4}{3}\cdot 3^{3/2}-\frac{4}{3}\cdot 2^{3/2}=\frac{4}{3}(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})$$

5. д) $$y=x^{-3},\ a=0{,}5,\ b=1$$

   $$S=\int\limits_{0{,}5}^{1}x^{-3}\,dx=\left.-\frac{x^{-2}}{2}\right|_{0{,}5}^{1}$$
   $$S=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 0{,}5^2}=-\frac{1}{2}+2=\frac{3}{2}=1{,}5$$

6. е) $$y=\frac{1}{2\sqrt{x}},\ a=1,\ b=4$$

   $$S=\int\limits_{1}^{4}\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx=\int\limits_{1}^{4}\frac{1}{2}x^{-1/2}\,dx=\left.\sqrt{x}\right|_{1}^{4}$$
   $$S=\sqrt{4}-\sqrt{1}=2-1=1$$

Вероятность того, что наудачу выбранная точка отрезка $$[-2;8]$$ не окажется точкой указанного промежутка, равна отношению длины части отрезка $$[-2;8]$$, не принадлежащей этому промежутку, к длине всего отрезка.

1. а) $$[-4;-3]$$

   На отрезке $$[-2;8]$$ таких точек нет, значит
   $$P=\frac{10}{10}=1.$$

2. б) $$[-2;9)$$

   Весь отрезок $$[-2;8]$$ входит в данный промежуток, значит
   $$P=0.$$

3. в) $$(0;3)$$

   Длина части отрезка $$[-2;8]$$, не попавшей в промежуток:
   $$2+5=7.$$
   Тогда
   $$P=\frac{7}{10}=0{,}7.$$

4. г) $$(-1;7]$$

   Не принадлежат промежутку отрезки $$[-2;-1]$$ и $$[7;8]$$, их общая длина равна
   $$1+1=2.$$
   Поэтому
   $$P=\frac{2}{10}=0{,}2.$$

5. д) $$(-\infty;5]$$

   Не принадлежат промежутку точки от $$5$$ до $$8$$, их длина равна $$3$$:
   $$P=\frac{3}{10}=0{,}3.$$

6. е) $$[0;+\infty)$$

   Не принадлежат промежутку точки от $$-2$$ до $$0$$, их длина равна $$2$$:
   $$P=\frac{2}{10}=0{,}2.$$

Ответ

а) $$\frac{14}{3}$$; б) $$\frac{1}{2}$$; в) $$3$$; г) $$\frac{4}{3}(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})$$; д) $$1{,}5$$; е) $$1$$.
Вероятности: а) $$1$$; б) $$0$$; в) $$0{,}7$$; г) $$0{,}2$$; д) $$0{,}3$$; е) $$0{,}2$$.