Упр.24.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 0,5x^2 + 2,5 и двумя касательными к нему из точки на оси ординат, которые образуют угол 60°.

1. Рассмотрим функцию $$y=3-0{,}5x^2.$$

   Производная:

   $$y’=-x.$$

   Пусть касательные проведены из точки на оси ординат и образуют прямой угол. Тогда углы наклона касательных симметричны, а их угловые коэффициенты равны $$k_1=1$$ и $$k_2=-1.$$

   Следовательно, точки касания удовлетворяют уравнению

   $$-x=\pm 1,$$

   откуда $$x=\pm 1.$$

   Найдём касательную в точке $$x=1$$:

   $$y(1)=3-0{,}5=2{,}5,$$

   $$y-2{,}5=-1(x-1),$$

   $$y=-x+3{,}5.$$

   По симметрии площадь искомой фигуры вдвое больше площади под одной из касательных на отрезке от $$0$$ до $$1$$:

   $$ S=2\int\limits_0^1\Bigl((-x+3{,}5)-(3-0{,}5x^2)\Bigr)\,dx. $$

   $$ S=2\int\limits_0^1\left(-x+\frac12+\frac{x^2}{2}\right)\,dx =2\left(-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}+\frac{x^3}{6}\right)\Bigg|_0^1. $$

   $$ S=2\left(-\frac14+\frac12+\frac16\right)=2\cdot\frac{5}{12}=\frac13. $$

2. Рассмотрим функцию $$y=0{,}5x^2+2{,}5.$$

   Производная:

   $$y’=x.$$

   Касательные образуют угол $$60^\circ,$$ значит их угловые коэффициенты равны $$k_1=\sqrt3$$ и $$k_2=-\sqrt3.$$

   Тогда точки касания удовлетворяют уравнению

   $$x=\pm\sqrt3.$$

   Найдём касательную в точке $$x=\sqrt3$$:

   $$y(\sqrt3)=0{,}5\cdot 3+2{,}5=4,$$

   $$y-4=\sqrt3(x-\sqrt3),$$

   $$y=\sqrt3\,x+1.$$

   Площадь фигуры:

   $$ S=2\int\limits_0^{\sqrt3}\Bigl((0{,}5x^2+2{,}5)-(\sqrt3\,x+1)\Bigr)\,dx. $$

   $$ S=2\int\limits_0^{\sqrt3}\left(\frac{x^2}{2}-\sqrt3\,x+\frac32\right)\,dx =2\left(\frac{x^3}{6}-\frac{\sqrt3\,x^2}{2}+\frac{3x}{2}\right)\Bigg|_0^{\sqrt3}. $$

   $$ S=2\left(\frac{3\sqrt3}{6}-\frac{3\sqrt3}{2}+\frac{3\sqrt3}{2}\right) =2\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\sqrt3. $$

Ответ

а) $$\frac13$$; б) $$\sqrt3$$.