Упр.24.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
б) Криволинейная фигура ограничена кривой y=x^3-x^2-x+1 и касательной к ней, проведённой в точке (1; 0). Найдите площадь данной фигуры.
а) $$y=-x^3+6x^2-9x.$$
Найдём уравнение касательной в точке $$\left(3;0\right).$$
$$y(3)=-27+54-27=0,$$
$$y'(x)=-3x^2+12x-9,$$
$$y'(3)=-27+36-9=0.$$Значит, касательная имеет уравнение $$y=0.$$
Найдём точки пересечения кривой с касательной:
$$-x^3+6x^2-9x=0,$$
$$x(x^2-6x+9)=0,$$
$$x(x-3)^2=0.$$Отсюда $$x=0$$ и $$x=3.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int\limits_0^3 \left(-x^3+6x^2-9x\right)\,dx =\left(-\frac{x^4}{4}+2x^3-\frac{9x^2}{2}\right)\Bigg|_0^3. $$
$$ S=\left(-\frac{81}{4}+54-\frac{81}{2}\right)-0 =\frac{27}{4}=6{,}75. $$
б) $$y=x^3-x^2-x+1.$$
Найдём уравнение касательной в точке $$\left(1;0\right).$$
$$y(1)=1-1-1+1=0,$$
$$y'(x)=3x^2-2x-1,$$
$$y'(1)=3-2-1=0.$$Следовательно, касательная имеет уравнение $$y=0.$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$ найдём из уравнения:
$$x^3-x^2-x+1=0,$$
$$x^2(x-1)-(x-1)=0,$$
$$(x^2-1)(x-1)=0,$$
$$(x-1)^2(x+1)=0.$$Отсюда $$x=-1$$ и $$x=1.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int\limits_{-1}^1 \left(x^3-x^2-x+1\right)\,dx =\left(\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x\right)\Bigg|_{-1}^1. $$
$$ S=\left(\frac14-\frac13-\frac12+1\right)-\left(\frac14+\frac13-\frac12-1\right) =\frac{4}{3}. $$
Ответ
а) $$6{,}75$$; б) $$\frac{4}{3}$$.
