Упр.24.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Криволинейная фигура ограничена кубической параболой y=x^3 и касательной к ней, проведённой в точке (1; 1). Найдите площадь данной фигуры.

а) Для функции $$y=x^3$$ найдём уравнения касательных.

В точке $$ (0;0) $$:

$$y’=3x^2,\quad y'(0)=0,$$

значит, касательная имеет вид $$y=0.$$

В точке $$ (1;1) $$:

$$y’=3x^2,\quad y'(1)=3,$$

поэтому

$$y-1=3(x-1),$$

то есть $$y=3x-2.$$

Точка пересечения касательных:

$$0=3x-2,\quad x=\frac{2}{3}.$$

Площадь фигуры равна сумме площадей двух частей:

$$ S=\int\limits_{0}^{\frac{2}{3}} x^3\,dx+\int\limits_{\frac{2}{3}}^{1}(3x-2-x^3)\,dx. $$

Вычислим:

$$ \int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}, $$

$$ \int (3x-2-x^3)\,dx=\frac{3x^2}{2}-2x-\frac{x^4}{4}. $$

Тогда

$$ S=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{0}^{\frac{2}{3}}+\left.\left(\frac{3x^2}{2}-2x-\frac{x^4}{4}\right)\right|_{\frac{2}{3}}^{1} =\frac{4}{81}+\frac{23}{108}=\frac{1}{12}. $$

б) Касательная к графику $$y=x^3$$ в точке $$ (1;1) $$ имеет уравнение $$y=3x-2.$$

Точки пересечения с кубической параболой найдём из уравнения:

$$ x^3=3x-2, $$

$$ x^3-3x+2=0, $$

$$ (x-1)^2(x+2)=0. $$

Следовательно, $$x=-2$$ и $$x=1.$$

Площадь фигуры:

$$ S=\int\limits_{-2}^{1}(3x-2-x^3)\,dx. $$

Тогда

$$ S=\left.\left(\frac{3x^2}{2}-2x-\frac{x^4}{4}\right)\right|_{-2}^{1} =\frac{27}{4}. $$

Ответ

а) $$\frac{1}{12}$$; б) $$\frac{27}{4}$$.