Упр.24.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) если эта функция чётная, то ?((-a; a); f(x) dx) = 2 ?((0; a); f(x) dx);
б) если эта функция нечётная, то ?((-a; a); f(x) dx) = 0.

Обозначим

$$A=\int_{-a}^{a} f(x)\,dx.$$

а) Если функция чётная, то $$f(-x)=f(x).$$ Разобьём интеграл на два:

$$ A=\int_{-a}^{0} f(x)\,dx+\int_{0}^{a} f(x)\,dx. $$

В первом интеграле сделаем замену $$x=-t$$. Тогда $$dx=-dt,$$ а при $$x=-a$$ получаем $$t=a,$$ при $$x=0$$ получаем $$t=0.$$ Поэтому

$$ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=\int_{a}^{0} f(-t)(-dt)=\int_{0}^{a} f(-t)\,dt. $$

Так как функция чётная, $$f(-t)=f(t),$$ значит

$$ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=\int_{0}^{a} f(t)\,dt. $$

Тогда

$$ A=\int_{0}^{a} f(x)\,dx+\int_{0}^{a} f(x)\,dx=2\int_{0}^{a} f(x)\,dx. $$

б) Если функция нечётная, то $$f(-x)=-f(x).$$ Аналогично:

$$ A=\int_{-a}^{0} f(x)\,dx+\int_{0}^{a} f(x)\,dx. $$

После замены $$x=-t$$ получаем

$$ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=\int_{0}^{a} f(-t)\,dt=-\int_{0}^{a} f(t)\,dt. $$

Следовательно,

$$ A=-\int_{0}^{a} f(x)\,dx+\int_{0}^{a} f(x)\,dx=0. $$

Ответ

а) $$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.$$

б) $$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0.$$