Упр.24.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x)=x; в) f(x)=x^2; д) f(x)=x^(1/3);
б) f(x)=0,5x; г) f(x)=x^3; е) f(x)=vx. Найдите значение выражения:
а) (8sin(23°)cos(23°))/(cos(24°)cos(20°)-sin(24°)sin(20°));
б) (sin(100°)cos(18°)-cos(100°)sin(18°))/(10cos(49°)sin(49°)).

Площадь квадрата равна $$1$$. График функции $$y=f(x)$$ при $$0 \le x \le 1$$ делит квадрат на две части: площадь под графиком и оставшуюся часть. Найдём площадь под графиком и сравним её с площадью оставшейся части.

1. а) $$f(x)=x$$

   $$S=\int_0^1 x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1=\frac12.$$
   Тогда вторая часть площади:
   $$1-\frac12=\frac12.$$
   Следовательно, отношение площадей:
   $$\frac12:\frac12=1:1.$$

2. б) $$f(x)=0{,}5x$$

   $$S=\int_0^1 0{,}5x\,dx=\left.\frac{x^2}{4}\right|_0^1=\frac14.$$
   Тогда
   $$1-\frac14=\frac34,$$
   и отношение площадей:
   $$\frac14:\frac34=1:3.$$

3. в) $$f(x)=x^2$$

   $$S=\int_0^1 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1=\frac13.$$
   Тогда
   $$1-\frac13=\frac23,$$
   и
   $$\frac13:\frac23=1:2.$$

4. г) $$f(x)=x^3$$

   $$S=\int_0^1 x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_0^1=\frac14.$$
   Тогда
   $$1-\frac14=\frac34,$$
   и отношение площадей:
   $$\frac14:\frac34=1:3.$$

5. д) $$f(x)=\sqrt[3]{x}$$

   $$S=\int_0^1 \sqrt[3]{x}\,dx=\int_0^1 x^{1/3}\,dx=\left.\frac{3}{4}x^{4/3}\right|_0^1=\frac34.$$
   Тогда
   $$1-\frac34=\frac14,$$
   и
   $$\frac34:\frac14=3:1.$$

6. е) $$f(x)=\sqrt{x}$$

   $$S=\int_0^1 \sqrt{x}\,dx=\int_0^1 x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_0^1=\frac23.$$
   Тогда
   $$1-\frac23=\frac13,$$
   и
   $$\frac23:\frac13=2:1.$$

Теперь найдём значения выражений.

2. а)

   $$\frac{8\sin 23^\circ \cos 23^\circ}{\cos 24^\circ \cos 20^\circ-\sin 24^\circ \sin 20^\circ}$$
   Используем формулы:
   $$2\sin a\cos a=\sin 2a,$$
   $$\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta=\cos(\alpha+\beta).$$
   Тогда
   $$8\sin 23^\circ \cos 23^\circ=4\sin 46^\circ,$$
   $$\cos 24^\circ \cos 20^\circ-\sin 24^\circ \sin 20^\circ=\cos 44^\circ.$$
   Получаем
   $$\frac{4\sin 46^\circ}{\cos 44^\circ}=4,$$
   так как $$\sin 46^\circ=\cos 44^\circ.$$

3. б)

   $$\frac{\sin 100^\circ \cos 18^\circ-\cos 100^\circ \sin 18^\circ}{10\cos 49^\circ \sin 49^\circ}$$
   Числитель:
   $$\sin 100^\circ \cos 18^\circ-\cos 100^\circ \sin 18^\circ=\sin(100^\circ-18^\circ)=\sin 82^\circ.$$
   Знаменатель:
   $$10\cos 49^\circ \sin 49^\circ=5\sin 98^\circ.$$
   Тогда
   $$\frac{\sin 82^\circ}{5\sin 98^\circ}.$$
   Но $$\sin 98^\circ=\sin(180^\circ-82^\circ)=\sin 82^\circ,$$ значит
   $$\frac{\sin 82^\circ}{5\sin 82^\circ}=\frac15=0{,}2.$$

Ответ

а) $$1:1$$; б) $$1:3$$; в) $$1:2$$; г) $$1:3$$; д) $$3:1$$; е) $$2:1$$; а) $$4$$; б) $$0{,}2$$.