Упр.24.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) f(x) = 1 / x^2, g(x) = 3^x — 2, a = 3;
б) f(x) = 1 / x, g(x) = x^5, a = -2;
в) f(x) = 1 / x^(1/3), g(x) = 0,5x — 3,5, a = 1;
г) f(x) = 2 / (1 + x^2), g(x) = x^3, a = v3. На рисунке 139 изображён график производной функции y=g(x). Укажите:
а) промежутки возрастания и убывания функции y=g(x);
б) точки максимума и минимума функции.

Подробный ответ

а) $$f(x)=\frac{1}{x^2},\quad g(x)=3^x-2,\quad x=3.$$
На отрезке $$[1;3]$$ график $$g(x)$$ расположен выше графика $$f(x)$$, поэтому
$$A=\int\limits_{1}^{3}\left(3^x-2-\frac{1}{x^2}\right)\,dx.$$
Найдём первообразную:
$$\int\left(3^x-2-\frac{1}{x^2}\right)\,dx=\frac{3^x}{\ln 3}-2x+\frac{1}{x}.$$
Тогда
$$ A=\left(\frac{3^x}{\ln 3}-2x+\frac{1}{x}\right)\Bigg|_{1}^{3} =\left(\frac{27}{\ln 3}-6+\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{3}{\ln 3}-2+1\right). $$
$$ A=\frac{24}{\ln 3}-\frac{14}{3}. $$
б) $$f(x)=\frac{1}{x},\quad g(x)=x^5,\quad x=-2.$$
На отрезке $$[-2;-1]$$ функция $$f(x)$$ выше функции $$g(x)$$, поэтому
$$A=\int\limits_{-2}^{-1}\left(\frac{1}{x}-x^5\right)\,dx.$$
Первообразная:
$$\int\left(\frac{1}{x}-x^5\right)\,dx=\ln|x|-\frac{x^6}{6}.$$
Тогда
$$ A=\left(\ln|x|-\frac{x^6}{6}\right)\Bigg|_{-2}^{-1} =\left(\ln 1-\frac{1}{6}\right)-\left(\ln 2-\frac{64}{6}\right). $$
$$ A=\frac{21}{2}-\ln 2. $$
в) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}},\quad g(x)=0{,}5x-3{,}5,\quad x=1.$$
На отрезке $$[1;8]$$ функция $$g(x)$$ выше функции $$f(x)$$, поэтому
$$A=\int\limits_{1}^{8}\left(0{,}5x-3{,}5-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)\,dx.$$
Удобнее записать так:
$$A=\int\limits_{1}^{8}\left(\frac{x}{2}-3{,}5-x^{-1/3}\right)\,dx.$$
Первообразная:
$$\int\left(\frac{x}{2}-3{,}5-x^{-1/3}\right)\,dx=\frac{x^2}{4}-3{,}5x-\frac{3}{2}x^{2/3}.$$
Тогда
$$ A=\left(\frac{x^2}{4}-3{,}5x-\frac{3}{2}x^{2/3}\right)\Bigg|_{1}^{8} =\left(16-28-6\right)-\left(\frac14-3{,}5-\frac32\right). $$
$$ A=13{,}25. $$
г) $$f(x)=\frac{2}{1+x^2},\quad g(x)=x^3,\quad x=\sqrt{3}.$$
На отрезке $$[1;\sqrt{3}]$$ функция $$g(x)$$ выше функции $$f(x)$$, поэтому
$$A=\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}\left(x^3-\frac{2}{1+x^2}\right)\,dx.$$
Первообразная:
$$\int\left(x^3-\frac{2}{1+x^2}\right)\,dx=\frac{x^4}{4}-2\arctg x.$$
Тогда
$$ A=\left(\frac{x^4}{4}-2\arctg x\right)\Bigg|_{1}^{\sqrt{3}} =\left(\frac{9}{4}-2\cdot\frac{\pi}{3}\right)-\left(\frac14-2\cdot\frac{\pi}{4}\right). $$
$$ A=2-\frac{\pi}{6}=\frac{12-\pi}{6}. $$