Упр.24.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $$y=f(x)$$, $$y=g(x)$$ и прямой $$x=a$$, если:
а) $$f(x)=\frac{1}{x^2}$$, $$g(x)=3^x-2$$, $$a=3$$;
б) $$f(x)=\frac{1}{x}$$, $$g(x)=x^5$$, $$a=-2$$;
в) $$f(x)=\frac{1}{x^{1/3}}$$, $$g(x)=0{,}5x-3{,}5$$, $$a=1$$;
г) $$f(x)=\frac{2}{1+x^2}$$, $$g(x)=x^3$$, $$a=\sqrt{3}$$. - На рисунке 139 изображён график производной функции $$y=g(x)$$. Укажите:
а) промежутки возрастания и убывания функции $$y=g(x)$$;
б) точки максимума и минимума функции.
а) $$f(x)=\frac{1}{x^2},\quad g(x)=3^x-2,\quad x=3.$$
На отрезке $$[1;3]$$ график $$g(x)$$ расположен выше графика $$f(x)$$, поэтому
$$A=\int\limits_{1}^{3}\left(3^x-2-\frac{1}{x^2}\right)\,dx.$$
Найдём первообразную:
$$\int\left(3^x-2-\frac{1}{x^2}\right)\,dx=\frac{3^x}{\ln 3}-2x+\frac{1}{x}.$$
Тогда
$$A=\left(\frac{3^x}{\ln 3}-2x+\frac{1}{x}\right)\Bigg|_{1}^{3} =\left(\frac{27}{\ln 3}-6+\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{3}{\ln 3}-2+1\right).$$
$$A=\frac{24}{\ln 3}-\frac{14}{3}.$$
б) $$f(x)=\frac{1}{x},\quad g(x)=x^5,\quad x=-2.$$
На отрезке $$[-2;-1]$$ функция $$f(x)$$ выше функции $$g(x)$$, поэтому
$$A=\int\limits_{-2}^{-1}\left(\frac{1}{x}-x^5\right)\,dx.$$
Первообразная:
$$\int\left(\frac{1}{x}-x^5\right)\,dx=\ln|x|-\frac{x^6}{6}.$$
Тогда
$$A=\left(\ln|x|-\frac{x^6}{6}\right)\Bigg|_{-2}^{-1} =\left(\ln 1-\frac{1}{6}\right)-\left(\ln 2-\frac{64}{6}\right).$$
$$A=\frac{21}{2}-\ln 2.$$
в) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}},\quad g(x)=0{,}5x-3{,}5,\quad x=1.$$
На отрезке $$[1;8]$$ функция $$g(x)$$ выше функции $$f(x)$$, поэтому
$$A=\int\limits_{1}^{8}\left(0{,}5x-3{,}5-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)\,dx.$$
Удобнее записать так:
$$A=\int\limits_{1}^{8}\left(\frac{x}{2}-3{,}5-x^{-1/3}\right)\,dx.$$
Первообразная:
$$\int\left(\frac{x}{2}-3{,}5-x^{-1/3}\right)\,dx=\frac{x^2}{4}-3{,}5x-\frac{3}{2}x^{2/3}.$$
Тогда
$$A=\left(\frac{x^2}{4}-3{,}5x-\frac{3}{2}x^{2/3}\right)\Bigg|_{1}^{8} =\left(16-28-6\right)-\left(\frac14-3{,}5-\frac32\right).$$
$$A=13{,}25.$$
г) $$f(x)=\frac{2}{1+x^2},\quad g(x)=x^3,\quad x=\sqrt{3}.$$
На отрезке $$[1;\sqrt{3}]$$ функция $$g(x)$$ выше функции $$f(x)$$, поэтому
$$A=\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}\left(x^3-\frac{2}{1+x^2}\right)\,dx.$$
Первообразная:
$$\int\left(x^3-\frac{2}{1+x^2}\right)\,dx=\frac{x^4}{4}-2\arctg x.$$
Тогда
$$A=\left(\frac{x^4}{4}-2\arctg x\right)\Bigg|_{1}^{\sqrt{3}} =\left(\frac{9}{4}-2\cdot\frac{\pi}{3}\right)-\left(\frac14-2\cdot\frac{\pi}{4}\right).$$
$$A=2-\frac{\pi}{6}=\frac{12-\pi}{6}.$$
Ответ
а) $$\frac{24}{\ln 3}-\frac{14}{3}$$; б) $$\frac{21}{2}-\ln 2$$; в) $$13{,}25$$; г) $$\frac{12-\pi}{6}$$.
