Упр.24.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) f(x)=|x^2-4|, g(x)=x+2;
б) f(x)=v(x+1), g(x)=|x|-1;
в) f(x)=|x^2-2x|, g(x)=x;
г) f(x)=-v(x+4), g(x)=-|x+1|+3. На рисунке 138 изображён график дифференцируемой функции y=h(x). Укажите значения х, при которых:
а) h'(x)=0; в) h'(x)>0;
б) h'(x) — не существует; г) h'(x)<0.
а) $$f(x)=|x^2-4|,\quad g(x)=x+2.$$
Точки пересечения найдём по уравнению $$|x^2-4|=x+2.$$
При $$x\le -2$$ или $$x\ge 2$$ имеем $$x^2-4\ge 0$$, поэтому
$$x^2-4=x+2,$$
$$x^2-x-6=0,$$
$$x=-2,\; x=3.$$
При $$-2<x<2$$ имеем $$x^2-4<0$$, значит
$$4-x^2=x+2,$$
$$x^2+x-2=0,$$
$$x=-2,\; x=1.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int\limits_{2}^{3}(x+2-(x^2-4))\,dx+\int\limits_{1}^{2}(x+2-(4-x^2))\,dx+\int\limits_{-2}^{1}((4-x^2)-(x+2))\,dx. $$
$$ S=\int\limits_{2}^{3}(x+6-x^2)\,dx+\int\limits_{1}^{2}(x-2+x^2)\,dx+\int\limits_{-2}^{1}(2-x^2-x)\,dx=8{,}5. $$
б) $$f(x)=\sqrt{x+1},\quad g(x)=|x|-1.$$
При $$x\ge 0$$: $$|x|=x,$$ тогда
$$\sqrt{x+1}=x-1,$$
$$x+1=x^2-2x+1,$$
$$x^2-3x=0,$$
$$x=0,\; x=3.$$
С учётом условия $$x\ge 1$$ получаем точку пересечения $$x=3.$$
При $$x<0$$: $$|x|=-x,$$ тогда
$$\sqrt{x+1}=-x-1,$$
$$x+1=x^2+2x+1,$$
$$x^2+x=0,$$
$$x=-1,\; x=0.$$
С учётом условия $$x\le -1$$ получаем точку пересечения $$x=-1.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int\limits_{0}^{3}(\sqrt{x+1}-x+1)\,dx+\int\limits_{-1}^{0}(\sqrt{x+1}+x+1)\,dx=\frac{13}{3}. $$
в) $$f(x)=|x^2-2x|,\quad g(x)=x.$$
Под знаком модуля:
$$x^2-2x=x(x-2).$$
Значит, $$x^2-2x\ge 0$$ при $$x\le 0$$ или $$x\ge 2$$, а при $$0<x<2$$ имеем $$x^2-2x<0.$$
Точки пересечения:
при $$x\le 0$$ или $$x\ge 2$$
$$x^2-2x=x,$$
$$x^2-3x=0,$$
$$x=0,\; x=3;$$
при $$0<x<2$$
$$2x-x^2=x,$$
$$x^2-x=0,$$
$$x=0,\; x=1.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int\limits_{2}^{3}(x-(x^2-2x))\,dx+\int\limits_{1}^{2}(x-(2x-x^2))\,dx+\int\limits_{0}^{1}(x-(x^2-2x))\,dx. $$
$$ S=\int\limits_{2}^{3}(3x-x^2)\,dx+\int\limits_{1}^{2}(x^2-x)\,dx+\int\limits_{0}^{1}(x-x^2)\,dx=\frac{13}{6}. $$
г) $$f(x)=-\sqrt{x+4},\quad g(x)=-|x+1|+3.$$
При $$x\ge -1$$: $$|x+1|=x+1,$$ тогда
$$-\sqrt{x+4}=-x+2,$$
$$\sqrt{x+4}=x-2,$$
$$x+4=x^2-4x+4,$$
$$x^2-5x=0,$$
$$x=0,\; x=5.$$
С учётом условия $$x\ge 2$$ получаем точку пересечения $$x=5.$$
При $$x<-1$$: $$|x+1|=-x-1,$$ тогда
$$-\sqrt{x+4}=x+4,$$
$$\sqrt{x+4}=-x-4,$$
$$x+4=x^2+8x+16,$$
$$x^2+7x+12=0,$$
$$x=-4,\; x=-3.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int\limits_{-1}^{5}(2-x+\sqrt{x+4})\,dx+\int\limits_{-4}^{-1}(x+4+\sqrt{x+4})\,dx=22{,}5. $$
По графику на рисунке 138:
а) $$h'(x)=0$$ при $$x=-2,\; x=1.$$
б) $$h'(x)$$ не существует при $$x=-3,\; x=3,\; x=8.$$
в) $$h'(x)>0$$ при $$-2<x<1,\; 3<x<8.$$
г) $$h'(x)<0$$ при $$-3<x<-2,\; 1<x<3.$$
Ответ
а) $$8{,}5$$; б) $$\frac{13}{3}$$; в) $$\frac{13}{6}$$; г) $$22{,}5$$; по графику: а) $$x=-2,1$$; б) $$x=-3,3,8$$; в) $$-2<x<1,\;3<x<8$$; г) $$-3<x<-2,\;1<x<3$$.
