Упр.24.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$:
а) $$f(x)=\sin(x),\quad g(x)=\frac{1}{2},\quad -7?/6?x?5?/6$$;
б) $$f(x)=2\sin(2x),\quad g(x)=\sin(2x),\quad 0?x??$$;
в) $$f(x)=2\cos(x),\quad g(x)=-1,\quad -2?/3?x?2?/3$$;
г) $$f(x)=2\cos(2x),\quad g(x)=\cos(2x),\quad -?/4?x??/4$$. - Наудачу выбирают точку из «снеговика» — трёх шаров, радиус нижнего из которых равен 3, радиус касающегося с ним внешним образом среднего шара равен 2, радиус верхнего шара, который касается внешним образом среднего, равен 1; центры шаров расположены на одной прямой. Какова вероятность того, что эта точка окажется:
а) не точкой касания шаров;
б) на поверхности «снеговика»;
в) в верхнем шаре;
г) в нижнем шаре;
д) или в нижнем, или в среднем шаре;
е) не в среднем шаре?
а) $$f(x)=\sin x,\quad g(x)=\frac12.$$
Точки пересечения:
$$\sin x=\frac12,$$
$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$
На отрезке $$\left[-\frac{7\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]$$ площадь равна
$$S=\int_{-\frac{7\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}\left(\frac12-\sin x\right)\,dx +\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}\left(\sin x-\frac12\right)\,dx.$$
$$S=\left(\frac{x}{2}+\cos x\right)\Bigg|_{-\frac{7\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} +\left(-\cos x-\frac{x}{2}\right)\Bigg|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}.$$
$$S=\frac{6\sqrt3+\pi}{3}.$$
б) $$f(x)=2\sin 2x,\quad g(x)=\sin 2x.$$
Точки пересечения:
$$2\sin 2x=\sin 2x,$$
$$\sin 2x=0,$$
$$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2}.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin 2x\,dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(-\sin 2x)\,dx.$$
$$S=\frac12\cos 2x\Bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\frac12\cos 2x\Bigg|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}=2.$$
в) $$f(x)=2\cos x,\quad g(x)=-1.$$
Точки пересечения:
$$2\cos x=-1,$$
$$\cos x=-\frac12,$$
$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}(2\cos x+1)\,dx.$$
$$S=(2\sin x+x)\Bigg|_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} =2\sqrt3+\frac{4\pi}{3}.$$
г) $$f(x)=2\cos 2x,\quad g(x)=\cos 2x.$$
Точки пересечения:
$$2\cos 2x=\cos 2x,$$
$$\cos 2x=0,$$
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos 2x\,dx =\frac12\sin 2x\Bigg|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}=1.$$
Ответ
а) $$\frac{6\sqrt3+\pi}{3}$$; б) $$2$$; в) $$2\sqrt3+\frac{4\pi}{3}$$; г) $$1$$.
