Упр.24.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) y=x-2, a=3, b=5; г) y=2x-1, a=2, b=3;
б) y=(x-1)^2, a=1, b=3; д) y=x^2-1, a=2, b=4;
в) y=x^3, a=1, b=2; е) y=x^3+1, a=0, b=2. Какова вероятность того, что наудачу выбранная точка отрезка [—6; 4] окажется точкой промежутка:
а) [-6; 5]; в) (-3; 1); д) (-?; 3];
б) [-7; -6); г) (-4; -2]; с) [0; +?)?

Подробный ответ

а) $$S=\int_{3}^{5}(x-2)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)\Bigg|_{3}^{5}$$
$$S=\left(\frac{25}{2}-10\right)-\left(\frac{9}{2}-6\right)=4.$$
б) $$S=\int_{1}^{3}(x-1)^2\,dx=\left(\frac{(x-1)^3}{3}\right)\Bigg|_{1}^{3}$$
$$S=\frac{2^3}{3}-0=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}.$$
в) $$S=\int_{1}^{2}x^3\,dx=\left(\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{1}^{2}$$
$$S=\frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}=3{,}75.$$
г) $$S=\int_{2}^{3}(2x-1)\,dx=\left(x^2-x\right)\Bigg|_{2}^{3}$$
$$S=(9-3)-(4-2)=4.$$
д) $$S=\int_{2}^{4}(x^2-1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\Bigg|_{2}^{4}$$
$$S=\left(\frac{64}{3}-4\right)-\left(\frac{8}{3}-2\right)=\frac{50}{3}=16\frac{2}{3}.$$
е) $$S=\int_{0}^{2}(x^3+1)\,dx=\left(\frac{x^4}{4}+x\right)\Bigg|_{0}^{2}$$
$$S=\left(\frac{16}{4}+2\right)-0=6.$$
Отрезок $$[-6;4]$$ имеет длину $$4-(-6)=10.$$
Вероятность равна отношению длины части отрезка, попавшей в указанный промежуток, к длине всего отрезка.
а) $$[-6;5]\cap[-6;4]=[-6;4],\quad P=\frac{10}{10}=1.$$
б) $$[-7;-6)\cap[-6;4]=\varnothing,\quad P=0.$$
в) $$(-3;1)\cap[-6;4]=(-3;1),\quad P=\frac{1-(-3)}{10}=\frac{4}{10}=0{,}4.$$
г) $$(-4;-2]\cap[-6;4]=(-4;-2],\quad P=\frac{-2-(-4)}{10}=\frac{2}{10}=0{,}2.$$
д) $$(-\infty;3]\cap[-6;4]=[-6;3],\quad P=\frac{3-(-6)}{10}=\frac{9}{10}=0{,}9.$$
е) $$[0;+\infty)\cap[-6;4]=[0;4],\quad P=\frac{4-0}{10}=\frac{4}{10}=0{,}4.$$